على الرغم من أن هذا الارتباط يبدو للوهلة الأولى غير واضح تمامًا (يبدو أن الرياضيات العلمية شيء والاقتصاد والتمويل شيء آخر تمامًا)، ولكن بمجرد دراسة تاريخ "اكتشاف" هذا الرقم، يصبح كل شيء واضحًا. في الواقع، بغض النظر عن كيفية تقسيم العلوم إلى فروع مختلفة تبدو غير ذات صلة، فإن النموذج العام سيظل هو نفسه (على وجه الخصوص، بالنسبة للمجتمع الاستهلاكي - الرياضيات "المستهلكة").

لنبدأ بالتعريف. e هو أساس اللوغاريتم الطبيعي، وهو ثابت رياضي، وعدد غير منطقي ومتسامي. أحيانًا يُسمى الرقم e برقم أويلر أو رقم نابير. يُشار إليه بالحرف اللاتيني الصغير "e".

وبما أن الدالة الأسية e^x متكاملة ومتمايزة "في حد ذاتها"، فإن اللوغاريتمات المستندة إلى الأساس e يتم قبولها باعتبارها لوغاريتمات طبيعية (على الرغم من أن اسم "الطبيعية" نفسه يجب أن يكون موضع شك كبير، لأن كل الرياضيات تعتمد بشكل أساسي على مبادئ مخترعة بشكل مصطنع تلك المنفصلة عن الطبيعة بمبادئ وهمية، وليس على الإطلاق بالمبادئ الطبيعية).

يُطلق على هذا الرقم أحيانًا اسم نيبير تكريماً للعالم الاسكتلندي نابير، مؤلف كتاب "وصف جدول اللوغاريتمات المذهل" (1614). ومع ذلك، فإن هذا الاسم ليس صحيحًا تمامًا، نظرًا لأن نابير لم يستخدم الرقم نفسه بشكل مباشر.

يظهر الثابت لأول مرة ضمنيًا في ملحق الترجمة الإنجليزية لعمل نابير المذكور أعلاه، والذي نُشر عام 1618. خلف الكواليس، لأنه يحتوي فقط على جدول اللوغاريتمات الطبيعية المحددة من الاعتبارات الحركية، لكن الثابت نفسه غير موجود.

تم حساب الثابت نفسه لأول مرة من قبل عالم الرياضيات السويسري برنولي (وفقًا للنسخة الرسمية عام 1690) أثناء حل مشكلة القيمة الحدية لدخل الفائدة. ووجد أنه إذا كان المبلغ الأصلي هو دولار واحد (العملة غير مهمة على الإطلاق) وتم تجميعه بنسبة 100% سنويًا مرة واحدة في نهاية العام، فإن المبلغ النهائي سيكون دولارين. ولكن إذا تم تجميع نفس الفائدة مرتين في السنة، فسيتم ضرب 1 دولار في 1.5 مرتين، مما يؤدي إلى 1.00 دولار × 1.5² = 2.25 دولار. ينتج عن مضاعفة الفائدة ربع السنوية 1.00 دولار × 1.254 = 2.44140625 دولار، وهكذا. وأوضح برنولي أنه إذا زاد تكرار حسابات الفائدة إلى ما لا نهاية، فإن دخل الفائدة في حالة الفائدة المركبة له حد - وهذا الحد يساوي 2.71828...

1.00 دولار × (1+1/12)12 = 2.613035 دولار…

$1.00×(1+1/365)365 = $2.714568... - في الحد العدد e

وبالتالي، فإن الرقم e يعني في الواقع تاريخيًا الحد الأقصى للربح السنوي المحتمل بنسبة 100% سنويًا والحد الأقصى لتكرار رسملة الفائدة. وما علاقة قوانين الكون بالأمر؟ يعد الرقم e أحد اللبنات المهمة في تأسيس الاقتصاد النقدي لفوائد القروض في مجتمع استهلاكي، والذي بموجبه منذ البداية، حتى على المستوى الفلسفي العقلي، تم تعديل جميع الرياضيات المستخدمة اليوم وصقلها لعدة قرون منذ.

أول استخدام معروف لهذا الثابت، حيث تمت الإشارة إليه بالحرف b، ظهر في رسائل لايبنتز إلى هويجنز، 1690-1691.

بدأ أويلر في استخدام الحرف e عام 1727، وقد ظهر لأول مرة في رسالة من أويلر إلى عالم الرياضيات الألماني غولدباخ بتاريخ 25 نوفمبر 1731، وكان أول منشور بهذه الرسالة هو عمله “الميكانيكا، أو علم الحركة، مشروح تحليليا”. "، 1736. وبناء على ذلك، عادة ما يسمى e برقم أويلر. على الرغم من أن بعض العلماء استخدموا لاحقًا الحرف c، إلا أن الحرف e تم استخدامه في كثير من الأحيان وهو التسمية القياسية اليوم.

ولا يُعرف بالضبط سبب اختيار الحرف e. وربما يرجع ذلك إلى أن كلمة الأسي («الدلالة»، «الأسية») تبدأ بها. اقتراح آخر هو أن الحروف a وb وc وd كانت بالفعل شائعة الاستخدام إلى حد ما لأغراض أخرى، وكان e هو أول حرف "حر". ومن الجدير بالذكر أيضًا أن الحرف e هو الحرف الأول في لقب أويلر.

ولكن على أية حال، فإن القول بأن الرقم e يرتبط بطريقة أو بأخرى بالقوانين العالمية للكون والطبيعة هو ببساطة أمر سخيف. كان هذا الرقم، حسب المفهوم نفسه، مرتبطًا في البداية بالنظام النقدي الائتماني والمالي، وعلى وجه الخصوص من خلال هذا الرقم (ولكن ليس فقط) أثرت أيديولوجية النظام الائتماني والمالي بشكل غير مباشر على تشكيل وتطوير جميع الرياضيات الأخرى، و ومن خلاله جميع العلوم الأخرى (فبعد كل شيء، بدون استثناء، يحسب العلم شيئًا ما باستخدام قواعد وأساليب الرياضيات). يلعب الرقم e دورًا مهمًا في حساب التفاضل والتكامل، والذي من خلاله يرتبط أيضًا بأيديولوجية وفلسفة تعظيم دخل الفوائد (قد يقول المرء أنه مرتبط بشكل لا شعوري). كيف ترتبط اللوغاريتم الطبيعي؟ أدى إنشاء e كثابت (مع كل شيء آخر) إلى تكوين روابط ضمنية في التفكير، والتي بموجبها لا يمكن لجميع الرياضيات الموجودة أن توجد بمعزل عن النظام النقدي! وفي ضوء ذلك، ليس من المستغرب على الإطلاق أن السلاف القدماء (وليسهم فقط) تمكنوا من التعامل بشكل جيد دون الثوابت والأرقام غير العقلانية والمتسامية، وحتى بدون الأرقام والأرقام بشكل عام (الحروف كانت بمثابة أرقام في العصور القديمة)، منطق مختلف، تفكير مختلف في النظام في غياب المال (وبالتالي كل ما يتعلق به) يجعل كل ما سبق غير ضروري.

تعريف

رقمهو ثابت رياضي غير عقلاني ومتعالي يسمى رقم أويلرأو رقم نابير، وهو أساس اللوغاريتم الطبيعي.

خلف الكواليس ثابت موجود في عمل "وصف جدول اللوغاريتمات المذهل" لعالم الرياضيات الاسكتلندي جون نابير (1550-1617) (بتعبير أدق في ملحق ترجمة هذا العمل الذي نُشر عام 1618). أول ذكر لهذا الثابت كان في رسائل الفيلسوف الساكسوني، عالم المنطق، عالم الرياضيات، الميكانيكي، الفيزيائي، المحامي، المؤرخ، الدبلوماسي، المخترع واللغوي جوتفريد فيلهلم لايبنتز (1646-1716) إلى الميكانيكي، الفيزيائي، عالم الرياضيات، الفلكي الهولندي. والمخترع كريستيان هوينجنز فان زويليشيم (1629-1695) في 1690-1691. هناك تم تحديده بالحرف . التسمية التقليدية وفي عام 1727، بدأ عالم الرياضيات والميكانيكي السويسري والألماني والروسي ليونارد أويلر (1707-1783) في استخدامه؛ استخدمها لأول مرة في رسالته إلى عالم الرياضيات الألماني كريستيان جولدباخ (1690-1764) في عام 1731. وكان أول منشور بهذه الرسالة هو عمل ل. أويلر "شرح الميكانيكا أو علم الحركة تحليليًا" (1736). تم حساب الثابت نفسه لأول مرة من قبل عالم الرياضيات السويسري جاكوب برنولي (1655-1705) أثناء حل مشكلة القيمة المحددة لدخل الفوائد:

يلعب العدد دورًا مهمًا في مختلف فروع الرياضيات، وخاصة في حساب التفاضل والتكامل. تم إثبات تجاوز رقم أويلر من قبل عالم الرياضيات الفرنسي تشارلز هيرميت (1822-1901) فقط في عام 1873.

عدد المهام ه

1) من خلال الحد:

2,7182818284590452353602874713527… سداسي عشري 2,B7E151628AED2A6A… الستيني 2; 43 05 48 52 29 48 35 … التقريبات العقلانية 8 / 3 ; 11 / 4 ; 19 / 7 ; 87 / 32 ; 106 / 39 ; 193 / 71 ; 1264 / 465 ; 2721 / 1001 ; 23225 / 8544

(مدرجة حسب زيادة الدقة)

استمرار الكسر

طرق التحديد

رقم هيمكن تعريفها بعدة طرق.

• فوق الحد: e = lim x → ∞ (1 + 1 x) x (\displaystyle e=\lim _(x\to \infty )\left(1+(\frac (1)(x))\right)^(x) )(الحد الثاني الملحوظ). ه = ليم ن → ∞ ن ن !}}} !} n (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n
• (وهذا يتبع من صيغة Moivre-Sirling). كمجموع السلسلة:}} !}ه = ∑ ن = 0 ∞ 1 ن ! (\displaystyle e=\sum _(n=0)^(\infty )(\frac (1)(n}} !}.
• أو 1 ه = ∑ ن = 2 ∞ (− 1) ن ن !(\displaystyle (\frac (1)(e))=\sum _(n=2)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n كمفرد
• أ (\displaystyle أ) 1 ه = ∑ ن = 2 ∞ (− 1) ن ن !، من أجلها ∫ 1 a d x x = 1. (\displaystyle \int \limits _(1)^(a)(\frac (dx)(x))=1.)

باعتباره الرقم الإيجابي الوحيد

، وهذا صحيح

د د س أ س = أ س . (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)ملكيات دليل على عدم العقلانيةلنفترض ذلك ه (\displaystyle e)عاقِل. ثم ه = ص / ف (\displaystyle e=p/q)، أين ص (\displaystyle p) - كله، و ف (\displaystyle ف) - طبيعي. !}لذلك ع = ه ف (\displaystyle p=eq)=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}} !} ضرب طرفي المعادلة ب (ف − 1) !} !}(\displaystyle (q-1) ، نحصل على=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}} !} جميع الحدود الموجودة على الجانب الأيمن هي أعداد صحيحة، وبالتالي فإن المجموع على الجانب الأيسر هو عدد صحيح. لكن هذا المجموع موجب أيضًا، أي أنه لا يقل عن 1. على الجانب الآخر، ∑ ن = ف + 1 ∞ ف !< ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) m {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}} ن! = ∑ م = 1 ∞ ف !< 1 q {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}} (ف + م) ! = ∑ م = 1 ∞ 1 (ف + 1) ., = ∑ م = 1 ∞ ف !< 1 {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1} .

• رقم (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).). (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)(ف + م)
• بتلخيص التقدم الهندسي على الجانب الأيمن، نحصل على: (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)∑ ن = ف + 1 ∞ ف !
• رقم هن!
• منذف ≥ 1 (\displaystyle q\geq 1)
• نحصل على التناقض. (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)بشكل متعالي. تم إثبات ذلك لأول مرة في عام 1873 بواسطة تشارلز هيرميت. تجاوز العدد يتبع من نظرية ليندمان.ومن المفترض أن - العدد الطبيعي، أي أن تكرار ظهور أرقام مختلفة في تدوينه هو نفسه. حاليا (2017) لم يتم إثبات هذه الفرضية.
• هو رقم قابل للحساب (وبالتالي حسابي). e i x = cos ⁡ (x) + i ⋅ sin ⁡ (x) (\displaystyle e^(ix)=\cos(x)+i\cdot \sin(x))، راجع صيغة أويلر، على وجه الخصوص أرقام ربط الصيغة}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.} !}
• رقم هو π (\displaystyle \pi )، ما يسمى تكامل بواسون أو تكامل غاوس ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π (\displaystyle \int \limits _(-\infty )^(\infty )\ e^(-x^(2))(dx)=(\sqrt (\pi )))
• لأي عدد مركب ض
• المساواة التالية صحيحة: ه ض = ∑ ن = 0 ∞ 1 ن !
• ه = ليم ن → ∞ ن ن !}}.} !}
• ن. (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n
• تمثيل الكاتالونية: ه = 2 ⋅ 4 3 ⋅ 6 ⋅ 8 5 ⋅ 7 4 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 16 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 8 ⋅ 18 ⋅ 20 ⋅ 22 ⋅ 24 ⋅ 26 ⋅ 28 ⋅ 30 ⋅ 32 17 ⋅ 19 ⋅ 21 ⋅ 23 ⋅ 25 ⋅ 27 ⋅ 29 ⋅ 31 16 ⋯ (\displaystyle e=2\cdot (\sqrt (\frac (4)(3)))\cdot (\sqrt[(4)](\frac (6) \cdot 8)(5\cdot 7)))\cdot (\sqrt[(8)](\frac (10\cdot 12\cdot 14\cdot 16)(9\cdot 11\cdot 13\cdot 15)) )\cdot (\sqrt[(16)](\frac (18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32)(17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\ cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31)))\cdots )
• التمثيل من خلال العمل:

e = 3 ⋅ ∏ k = 1 ∞ (2 k + 3) k + 1 2 (2 k − 1) k − 1 2 (2 k + 1) 2 k (\displaystyle e=(\sqrt (3))\ cdot \prod \limits _(k=1)^(\infty )(\frac (\left(2k+3\right)^(k+(\frac (1)(2)))\left(2k-1\ يمين)^(k-(\frac (1)(2))))(\left(2k+1\right)^(2k))))}} !}

من خلال أرقام الجرس

ه = 1 ب ن ∑ ك = 0 ∞ ك ن ك ! (\displaystyle e=(\frac (1)(B_(n)))\sum _(k=0)^(\infty )(\frac (k^(n))(kقصة يُطلق على هذا الرقم أحيانًاغير الريش تكريما للعالم الاسكتلندي نابير، مؤلف كتاب "وصف جدول اللوغاريتمات المذهل" (1614). ومع ذلك، فإن هذا الاسم ليس صحيحا تماما، لأنه يحتوي على لوغاريتم الرقم.

س (\displaystyle x)

كان متساويا 10 7 ⋅ سجل 1 / e ⁡ (x 10 7) (\displaystyle 10^(7)\cdot \,\log _(1/e)\left((\frac (x)(10^(7))) \يمين))يظهر الثابت لأول مرة ضمنيًا في ملحق الترجمة الإنجليزية لعمل نابير المذكور أعلاه، والذي نُشر عام 1618. خلف الكواليس، لأنه يحتوي فقط على جدول اللوغاريتمات الطبيعية المحددة من الاعتبارات الحركية، لكن الثابت نفسه غير موجود. تم حساب الثابت نفسه لأول مرة من قبل عالم الرياضيات السويسري جاكوب برنولي أثناء حل مشكلة القيمة المحددة لدخل الفائدة. اكتشف أنه إذا كان المبلغ الأصلي 1 دولار (\displaystyle \$1) 10 7 ⋅ سجل 1 / e ⁡ (x 10 7) (\displaystyle 10^(7)\cdot \,\log _(1/e)\left((\frac (x)(10^(7))) \يمين))ويتم احتسابه سنويا مرة واحدة في نهاية العام، فيكون المبلغ الإجمالي 2 دولار (\displaystyle \$2). ولكن إذا تم احتساب نفس الفائدة مرتين في السنة، إذن مضروبة في 1 , 5 (\displaystyle 1(,)5) مرتين، الحصول على، وما إلى ذلك. أظهر برنولي أنه إذا زاد تكرار حسابات الفائدة إلى أجل غير مسمى، فإن دخل الفائدة في حالة الفائدة المركبة له حد: ليم ن → ∞ (1 + 1 ن) ن .(\displaystyle \lim _(n\to \infty )\left(1+(\frac (1)(n))\right)^(n).) وهذا الحد يساوي العدد.

ه (≈ 2.718 28) (\displaystyle e~(\approx 2(),)71828))

$ 1.00 ⋅ (1 + 1 12) 12 = $ 2.613 035... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(12))\right)^( 12) =\$2(,)613035...)

$ 1,00 ⋅ (1 + 1,365) 365 = $ 2,714,568... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(365))\right)^( 365) =\$2(,)714568...) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)لذلك الثابت يعني أقصى ربح سنوي ممكن في 100% (\displaystyle 100\%)

سنويًا والحد الأقصى لتكرار رسملة الفائدة. أول استخدام معروف لهذا الثابت، حيث تمت الإشارة إليه بالحرفب (\displaystyle b)

، وجدت في رسائل لايبنيز إلى هويجنز، -1691. (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)خطاب (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)بدأ أويلر استخدامه عام 1727، وقد تم العثور عليه لأول مرة في رسالة من أويلر إلى عالم الرياضيات الألماني غولدباخ بتاريخ 25 نوفمبر 1731، وكان أول منشور بهذه الرسالة هو عمله “شرح الميكانيكا أو علم الحركة تحليليا”. 1736. على التوالى، رقم أويلرعادة ما يسمى . على الرغم من أن بعض العلماء استخدموا الرسالة فيما بعدج (\displaystyle c) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)، خطاب

تم استخدامه في كثير من الأحيان وهو الآن التعيين القياسي. كل من الوظائفه يختبر القيمة المحددة ويعيد TRUE أو FALSE اعتمادًا على النتيجة. على سبيل المثال، الدالةفارغ

تُرجع القيمة المنطقية TRUE إذا كانت القيمة التي يتم اختبارها هي مرجع إلى خلية فارغة؛ وإلا، فسيتم إرجاع القيمة المنطقية FALSE. كل من الوظائفوظائف تُستخدم للحصول على معلومات حول قيمة ما قبل إجراء عملية حسابية أو أي إجراء آخر عليها. على سبيل المثال، لتنفيذ إجراء مختلف عند حدوث خطأ، يمكنك استخدام الوظيفةخطأ بالاشتراك مع الوظيفة:

= لو لو(

خطأ (A1)؛ "حدث خطأ."; أ1*2) بالاشتراك مع الوظيفةتتحقق هذه الصيغة من وجود خطأ في الخلية A1. عند حدوث خطأ، الوظيفة بالاشتراك مع الوظيفةتقوم بإرجاع الرسالة "حدث خطأ." إذا لم تكن هناك أخطاء، الدالة

يحسب المنتج A1*2.

بناء الجملة

فارغة (القيمة)

إيوس (القيمة)

خطأ (القيمة)

إلوجيك (القيمة)

UNM (القيمة)

NETTEXT(القيمة)

ETEXT(القيمة) كل من الوظائفحجة الوظيفة

موصوفة أدناه.الحجة المطلوبة. القيمة التي يتم فحصها. يمكن أن تكون قيمة هذه الوسيطة عبارة عن خلية فارغة، أو قيمة خطأ، أو قيمة منطقية، أو نص، أو رقم، أو مرجع لأي من الكائنات المدرجة، أو اسم مثل هذا الكائن.

وظيفة	إرجاع صحيح إذا
	تشير وسيطة القيمة إلى خلية فارغة
	تشير وسيطة القيمة إلى أي قيمة خطأ بخلاف ‎#N/A
	تشير وسيطة القيمة إلى أي قيمة خطأ (#N/A، أو #VALUE!، أو #REF!، أو #DIV/0!، أو #NUM!، أو #NAME?، أو #EMPTY!)
	تشير وسيطة القيمة إلى قيمة منطقية
	تشير وسيطة القيمة إلى قيمة الخطأ #N/A (القيمة غير متوفرة)
اينيتيكست	تشير وسيطة القيمة إلى أي عنصر ليس نصًا. (لاحظ أن الدالة ترجع TRUE إذا كانت الوسيطة تشير إلى خلية فارغة.)
	تشير وسيطة القيمة إلى رقم
	تشير وسيطة القيمة إلى النص

ملحوظات

الحجج في الوظائف كل من الوظائفلا يتم تحويلها. يتم التعامل مع أي أرقام محاطة بعلامات الاقتباس كنص. على سبيل المثال، في معظم الدالات الأخرى التي تتطلب وسيطة رقمية، يتم تحويل القيمة النصية "19" إلى الرقم 19. ومع ذلك، في الصيغة رقم("19") لا يتم تحويل هذه القيمة من نص إلى رقم، والدالة رقمإرجاع خطأ.

استخدام الوظائف كل من الوظائفمن الملائم التحقق من نتائج العمليات الحسابية في الصيغ. الجمع بين هذه الميزات مع الوظيفة بالاشتراك مع الوظيفة، يمكنك العثور على أخطاء في الصيغ (راجع الأمثلة أدناه).

أمثلة

مثال 1

انسخ البيانات النموذجية من الجدول التالي والصقها في الخلية A1 بورقة عمل Excel الجديدة. لعرض نتائج الصيغ، حددها واضغط على F2، ثم اضغط على Enter. إذا لزم الأمر، قم بتغيير عرض الأعمدة لرؤية كافة البيانات.

انسخ البيانات النموذجية من الجدول أدناه والصقها في الخلية A1 بورقة عمل Excel الجديدة. لعرض نتائج الصيغ، حددها واضغط على F2، ثم اضغط على Enter. إذا لزم الأمر، قم بتغيير عرض الأعمدة لرؤية كافة البيانات.

بيانات
صيغة	وصف	نتيجة
فارغة (A2)	التحقق مما إذا كانت الخلية C2 فارغة
خطأ (A4)	التحقق مما إذا كانت القيمة الموجودة في الخلية A4 (#REF!) هي قيمة خطأ
	التحقق مما إذا كانت القيمة الموجودة في الخلية A4 (#REF!) هي قيمة الخطأ #N/A
	التحقق مما إذا كانت القيمة الموجودة في الخلية A6 (#N/A) هي قيمة الخطأ #N/A
	التحقق مما إذا كانت القيمة الموجودة في الخلية A6 (#N/A) هي قيمة خطأ
رقم (A5)	يختبر ما إذا كانت القيمة الموجودة في الخلية A5 (330.92) عبارة عن رقم
إيتكست(A3)	التحقق مما إذا كانت القيمة الموجودة في الخلية A3 ("Region1") عبارة عن نص

ذ (خ) = ه س، ومشتقتها تساوي الدالة نفسها.

يتم الإشارة إلى الأس كـ ، أو .

رقم ه

أساس درجة الأس هو رقم ه. هذا رقم غير عقلاني. وهي متساوية تقريبًا
ه ≈ 2,718281828459045...

يتم تحديد الرقم e من خلال حد التسلسل. هذا هو ما يسمى الحد الثاني الرائع:
.

يمكن أيضًا تمثيل الرقم e كسلسلة:
.

الرسم البياني الأسي

الرسم البياني الأسي، y = e x .

يظهر الرسم البياني الأسي هإلى حد ما X.
ذ (خ) = ه س
يوضح الرسم البياني أن الأس يزداد بشكل رتيب.

الصيغ

الصيغ الأساسية هي نفسها المستخدمة في الدالة الأسية ذات قاعدة الدرجة e.

;
;
;

التعبير عن دالة أسية ذات قاعدة عشوائية من الدرجة أ من خلال الأسي:
.

القيم الخاصة

دع ذ (خ) = ه س.
.

ثم

خصائص الأس ه > 1 .

الأس له خصائص الدالة الأسية ذات قاعدة القوة

المجال، مجموعة من القيم (خ) = ه سالأس ذ
محددة لجميع x.
- ∞ < x + ∞ .
مجال تعريفه:
0 < y < + ∞ .

ومعانيها كثيرة:

النهايات، المتزايدة، المتناقصة

الأسية هي دالة متزايدة بشكل رتيب، لذلك ليس لها نقاط نهاية. يتم عرض خصائصه الرئيسية في الجدول.

دالة عكسية
;
.

معكوس الأس هو اللوغاريتم الطبيعي.

مشتق من الأس هإلى حد ما Xالمشتق هإلى حد ما X :
.
يساوي
.
مشتق من الترتيب ن:

اشتقاق الصيغ > > >

أساسي

أرقام معقدة يتم تنفيذ العمليات على الأعداد المركبة باستخدام:
,
صيغ أويلر
.

أين هي الوحدة التخيلية :

; ;
.

التعبيرات من خلال الوظائف الزائدية

; ;
;
.

التعبيرات باستخدام الدوال المثلثية

توسيع سلسلة الطاقة
الأدب المستخدم: