Въпреки че тази връзка на пръв поглед изглежда напълно неочевидна (научната математика, изглежда, е едно, а икономиката и финансите са съвсем друго), но след като проучите историята на „откриването“ на това число, всичко става очевидно. Всъщност, без значение как науките са разделени на различни привидно несвързани клонове, общата парадигма ще остане същата (по-специално за потребителското общество - „потребителска“ математика).

Да започнем с определение. e е основата на естествения логаритъм, математическа константа, ирационално и трансцендентно число. Понякога числото e се нарича число на Ойлер или число на Напиер. Означава се с малката латинска буква „e“.

Тъй като експоненциалната функция e^x е интегрирана и диференцирана „в себе си“, логаритмите, базирани на основата e, се приемат за естествени (въпреки че самото име „естественост“ трябва да бъде под голямо съмнение, тъй като цялата математика по същество се основава на изкуствено измислени тези, отделени от природните фиктивни принципи, а не на естествените).

Това число понякога се нарича Nepier в чест на шотландския учен Napier, автор на труда „Описание на удивителната таблица на логаритмите“ (1614 г.). Това име обаче не е напълно правилно, тъй като Napier не е използвал директно самия номер.

Константата за първи път се появява негласно в приложение към английския превод на гореспоменатата работа на Напиер, публикувана през 1618 г. Зад кулисите, тъй като съдържа само таблица с естествени логаритми, определени от КИНЕМАТИЧНИ съображения, но самата константа не присъства.

Самата константа е изчислена за първи път от швейцарския математик Бернули (според официалната версия през 1690 г.) при решаването на проблема за пределната стойност на ЛИХВЕНИЯ ДОХОД. Той установи, че ако първоначалната сума е $1 (валутата е напълно маловажна) и се натрупа 100% годишно веднъж в края на годината, крайната сума ще бъде $2. Но ако една и съща лихва се начислява два пъти годишно, тогава $1 се умножава по 1,5 два пъти, което води до $1,00 x 1,5² = $2,25. Начисляването на лихвата на тримесечие води до $1,00 x 1,254 = $2,44140625 и т.н. Бернули показа, че ако честотата на лихвените изчисления СЕ УВЕЛИЧАВА БЕЗКРАЙНО, тогава доходът от лихви в случай на сложна лихва има лимит - и този лимит е равен на 2,71828...

$1,00×(1+1/12)12 = $2,613035…

$1,00×(1+1/365)365 = $2,714568… - в ограничението числото e

Така числото e всъщност исторически означава максималната възможна ГОДИШНА ПЕЧАЛБА при 100% годишно и максималната честота на капитализация на лихвата. И какво общо имат законите на Вселената с това? Числото e е един от важните градивни елементи в основата на паричната икономика на заемната лихва в консуматорското общество, под което от самото начало, дори на умствено философско ниво, цялата математика, използвана днес, беше коригирана и изострена няколко века преди.

Първата известна употреба на тази константа, където тя се обозначава с буквата b, се появява в писмата на Лайбниц до Хюйгенс, 1690-1691.

Ойлер започва да използва буквата e през 1727 г., тя се появява за първи път в писмо от Ойлер до немския математик Голдбах от 25 ноември 1731 г., а първата публикация с тази буква е неговата работа „Механиката или науката за движението, обяснена аналитично ”, 1736. Съответно e обикновено се нарича число на Ойлер. Въпреки че някои учени впоследствие са използвали буквата c, буквата e е използвана по-често и днес е стандартното обозначение.

Не е известно точно защо е избрана буквата e. Може би това се дължи на факта, че думата експоненциална („показателна“, „експоненциална“) започва с нея. Друго предположение е, че буквите a, b, c и d вече са били доста често използвани за други цели, а e е първата "свободна" буква. Също така трябва да се отбележи, че буквата e е първата буква в фамилното име Euler.

Но във всеки случай да се каже, че числото e по някакъв начин е свързано с универсалните закони на Вселената и природата, е просто абсурдно. Това число, по самата концепция, първоначално е било свързано с кредитната и финансовата парична система и по-специално чрез това число (но не само) идеологията на кредитната и финансовата система косвено е повлияла върху формирането и развитието на цялата друга математика, и чрез него всички други науки (в края на краищата, без изключение, науката изчислява нещо, използвайки правилата и подходите на математиката). Числото e играе важна роля в диференциалното и интегралното смятане, което всъщност чрез него е свързано и с идеологията и философията за максимизиране на доходите от лихви (дори може да се каже, че е свързано подсъзнателно). Как е свързан естественият логаритъм? Установяването на e като константа (заедно с всичко останало) доведе до формирането на имплицитни връзки в мисленето, според които цялата съществуваща математика просто не може да съществува изолирана от паричната система! И в тази светлина изобщо не е изненадващо, че древните славяни (и не само те) са се справяли отлично без константи, ирационални и трансцендентални числа и дори без цифри и числа като цяло (буквите са действали като числа в древността), различната логика, различното мислене в системата при липса на пари (и следователно всичко свързано с тях) прави всичко изброено по-горе просто ненужно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Номере ирационална и трансцендентална математическа константа, наречена Число на Ойлерили Номер на Напиер, което е основата на натуралния логаритъм.

Постоянно зад кулисите присъства в произведението „Описание на удивителната таблица на логаритмите“ на шотландския математик Джон Напиер (1550-1617) (по-точно в приложението към превода на този труд, който е публикуван през 1618 г.). Първото споменаване на тази константа е в писмата на саксонския философ, логик, математик, механик, физик, адвокат, историк, дипломат, изобретател и лингвист Готфрид Вилхелм Лайбниц (1646-1716) до холандския механик, физик, математик, астроном и изобретателят Кристиан Хюингенс ван Зуилихем (1629-1695) през 1690-91 г. Там беше обозначено с буквата. Традиционно обозначение през 1727 г. швейцарският, немският, руският математик и механик Леонхард Ойлер (1707-1783) започва да го използва; той го използва за първи път в писмото си до немския математик Кристиан Голдбах (1690-1764) през 1731 г. Първата публикация с това писмо е работата на Л. Ойлер „Механиката или науката за движението, обяснена аналитично“ (1736 г.). Самата константа е изчислена за първи път от швейцарския математик Якоб Бернули (1655-1705), докато решава проблема с граничната стойност на лихвения доход:

Числото играе важна роля в различни клонове на математиката и особено в диференциалното и интегралното смятане. Трансцендентността на числото на Ойлер е доказана от френския математик Чарлз Ермит (1822-1901) едва през 1873 г.

Задачи с номер e

1) През границата:

2,7182818284590452353602874713527… Шестнадесетичен 2,B7E151628AED2A6A… шестдесетичен 2; 43 05 48 52 29 48 35 … Рационални приближения 8 / 3 ; 11 / 4 ; 19 / 7 ; 87 / 32 ; 106 / 39 ; 193 / 71 ; 1264 / 465 ; 2721 / 1001 ; 23225 / 8544

(изброени в ред на нарастване на точността)

Продължена дроб

Методи за определяне

Номер дможе да се определи по няколко начина.

• Над ограничението: e = lim x → ∞ (1 + 1 x) x (\displaystyle e=\lim _(x\to \infty )\left(1+(\frac (1)(x))\right)^(x) )(втора прекрасна граница). e = lim n → ∞ n n !}}} !} n (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n
• (това следва от формулата на Moivre-Stirling). Като сбор от серията:}} !} e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! (\displaystyle e=\sum _(n=0)^(\infty )(\frac (1)(n}} !}.
• или 1 e = ∑ n = 2 ∞ (− 1) n n !(\displaystyle (\frac (1)(e))=\sum _(n=2)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n Като единствено число
• a (\displaystyle a) 1 e = ∑ n = 2 ∞ (− 1) n n !, за което ∫ 1 a d x x = 1. (\displaystyle \int \limits _(1)^(a)(\frac (dx)(x))=1.)

Като единственото положително число

, за което е вярно

d d x a x = a x. (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)Имоти Доказателство за ирационалностНека се преструваме, че e (\displaystyle e)рационален. Тогава e = p / q (\displaystyle e=p/q), Където p (\displaystyle p) - цяло и q (\displaystyle q) - естествено. !}Следователно p = e q (\displaystyle p=eq)=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}} !} Умножавайки двете страни на уравнението по (q − 1) !} !}(\displaystyle (q-1) , получаваме=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}} !} Всички членове от дясната страна са цели числа, следователно сумата от лявата страна е цяло число. Но тази сума също е положителна, което означава, че не е по-малка от 1. От друга страна, ∑ n = q + 1 ∞ q !< ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) m {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}} н! = ∑ m = 1 ∞ q ! (q + m)!< 1 q {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}} = ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) . ., (q + m)!< 1 {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1} .

• Номер (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)(q + m) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)Обобщавайки геометричната прогресия от дясната страна, получаваме:
• ∑ n = q + 1 ∞ q ! (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)н!
• Номер дТъй като
• q ≥ 1 (\displaystyle q\geq 1)Получаваме противоречие.
• трансцендентално. Това е доказано за първи път през 1873 г. от Чарлз Ермит. Трансцендентност на числото (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)следва от теоремата на Линдеман. Предполага се, че- нормално число, тоест честотата на появата на различни цифри в неговото обозначение е една и съща. Към момента (2017 г.) тази хипотеза не е доказана. е изчислимо (и следователно аритметично) число.
• e i x = cos ⁡ (x) + i ⋅ sin ⁡ (x) (\displaystyle e^(ix)=\cos(x)+i\cdot \sin(x)) , вижте по-специално формулата на ОйлерФормула за свързване на числа И}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.} !}
• Номер дπ (\displaystyle \pi ) , т.нар Интеграл на Поасон или интеграл на Гаус∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π (\displaystyle \int \limits _(-\infty )^(\infty )\ e^(-x^(2))(dx)=(\sqrt (\pi ))) За всяко комплексно число
• z са верни следните равенства:
• e z = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! z n = lim n → ∞ (1 + z n) n .
• e = lim n → ∞ n n !}}.} !}
• н. (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n Представяне на каталонски:
• e = 2 ⋅ 4 3 ⋅ 6 ⋅ 8 5 ⋅ 7 4 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 16 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 8 ⋅ 18 ⋅ 20 ⋅ 22 ⋅ 24 ⋅ 26 ⋅ 28 ⋅ 30 ⋅ 32 17 ⋅ 19 ⋅ 21 ⋅ 23 ⋅ 25 ⋅ 27 ⋅ 29 ⋅ 31 16 ⋯ (\displaystyle e=2\cdot (\sqrt (\frac (4)(3)))\cdot (\sqrt[(4)](\frac (6 \cdot 8)(5\cdot 7)))\cdot (\sqrt[(8)](\frac (10\cdot 12\cdot 14\cdot 16)(9\cdot 11\cdot 13\cdot 15)) )\cdot (\sqrt[(16)](\frac (18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32)(17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\ cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31)))\cdots ) Представяне чрез работата:
• e = 3 ⋅ ∏ k = 1 ∞ (2 k + 3) k + 1 2 (2 k − 1) k − 1 2 (2 k + 1) 2 k (\displaystyle e=(\sqrt (3))\ cdot \prod \limits _(k=1)^(\infty )(\frac (\left(2k+3\right)^(k+(\frac (1)(2)))\left(2k-1\ дясно)^(k-(\frac (1)(2))))(\ляво(2k+1\дясно)^(2k))))

Чрез номера на Bell}} !}

E = 1 B n ∑ k = 0 ∞ k n k !

(\displaystyle e=(\frac (1)(B_(n)))\sum _(k=0)^(\infty )(\frac (k^(n))(k ИсторияТози номер понякога се нарича неоперенив чест на шотландския учен Напиер, автор на труда „Описание на удивителната таблица на логаритмите“ (1614 г.). Това име обаче не е напълно правилно, тъй като има логаритъм от числото x (\displaystyle x).

беше равен

10 7 ⋅ log 1 / e ⁡ (x 10 7) (\displaystyle 10^(7)\cdot \,\log _(1/e)\left((\frac (x)(10^(7))) \точно)) Константата за първи път се появява негласно в приложение към английския превод на гореспоменатата работа на Напиер, публикувана през 1618 г. Зад кулисите, защото съдържа само таблица с естествени логаритми, определени от кинематични съображения, но самата константа не присъства.Самата константа е изчислена за първи път от швейцарския математик Якоб Бернули при решаването на проблема за граничната стойност на лихвения доход. Той откри, че ако първоначалната сума $ 1 (\displaystyle \$1)и се изчислява ежегодно веднъж в края на годината, тогава общата сума ще бъде Константата за първи път се появява негласно в приложение към английския превод на гореспоменатата работа на Напиер, публикувана през 1618 г. Зад кулисите, защото съдържа само таблица с естествени логаритми, определени от кинематични съображения, но самата константа не присъства.$ 2 (\displaystyle \$2) . Но ако една и съща лихва се изчислява два пъти годишно, тогаваумножено по 1 , 5 (\displaystyle 1(,)5)два пъти, получаване 1 00 $ ⋅ 1 5 2 = 2 25 $ (\displaystyle \$1(,)00\cdot 1(,)5^(2)=\$2(,)25), и така нататък. Бернули показа, че ако честотата на лихвените изчисления се увеличава за неопределено време, тогава лихвеният доход в случай на сложна лихва има ограничение: lim n → ∞ (1 + 1 n) n .(\displaystyle \lim _(n\to \infty )\left(1+(\frac (1)(n))\right)^(n).) и тази граница е равна на броя.

e (≈ 2,718 28) (\displaystyle e~(\приблизително 2(,)71828))

1,00 $ ⋅ (1 + 1 12) 12 = 2,613 $ 035... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(12))\right)^( 12) =\$2(,)613035...)

1 00 $ ⋅ (1 + 1 365) 365 = 2 714 568 $... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(365))\right)^( 365) =\$2(,)714568...) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)Така че константата означава максималната възможна годишна печалба при 100% (\displaystyle 100\%)

годишно и максимална честота на капитализиране на лихвата. Първата известна употреба на тази константа, където тя се обозначава с буквата b (\displaystyle b)

, намерени в писмата на Лайбниц до Хюйгенс, -1691. (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)Писмо (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)Ойлер започва да го използва през 1727 г., за първи път се среща в писмо от Ойлер до немския математик Голдбах от 25 ноември 1731 г., а първата публикация с това писмо е неговата работа „Механиката или науката за движението, обяснена аналитично“, 1736 г. съответно Число на Ойлеробикновено се нарича . Въпреки че някои учени впоследствие са използвали писмото c (\displaystyle c) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).), писмо

се използва по-често и сега е стандартното обозначение. Всяка от функциитед тества указаната стойност и връща TRUE или FALSE в зависимост от резултата. Например функциятаПРАЗЕН

връща булевата стойност TRUE, ако стойността, която се тества, е препратка към празна клетка; в противен случай се връща булевата стойност FALSE. Всяка от функциитеФункции се използват за получаване на информация за стойност, преди да се извърши изчисление или друго действие върху нея. Например, за да извършите различно действие, когато възникне грешка, можете да използвате функциятаГРЕШКА в комбинация с функцията:

= АКО АКО(

ГРЕШКА(A1); "Възникна грешка."; A1*2) в комбинация с функциятаТази формула проверява за грешка в клетка A1. Когато възникне грешка, функцията в комбинация с функциятавръща съобщението "Възникна грешка." Ако няма грешки, функцията

изчислява произведението A1*2.

Синтаксис

EMPTY(стойност)

EOS(стойност)

ГРЕШКА(стойност)

ELOGIC(стойност)

UNM(стойност)

NETTEXT(стойност)

ETEXT(стойност) Всяка от функциитеаргумент на функцията

са описани по-долу.Задължителен аргумент. Стойността, която се проверява. Стойността на този аргумент може да бъде празна клетка, стойност за грешка, булева стойност, текст, число, препратка към някой от изброените обекти или името на такъв обект.

функция	Връща TRUE ако
	Аргументът стойност се отнася до празна клетка
	Аргументът стойност се отнася до всяка стойност на грешка, различна от #N/A
	Аргументът стойност се отнася до всяка стойност на грешка (#N/A, #VALUE!, #REF!, #DIV/0!, #NUM!, #NAME? или #ПРАЗЕН!)
	Аргументът стойност се отнася до булева стойност
	Аргументът стойност препраща към стойността за грешка #N/A (стойността не е налична)
ENETEXT	Аргументът стойност се отнася до всеки елемент, който не е текст. (Имайте предвид, че функцията връща TRUE, ако аргументът се отнася до празна клетка.)
	Аргументът стойност се отнася до число
	Аргументът стойност се отнася до текста

Бележки

Аргументи във функции Всяка от функциитене се преобразуват. Всички числа, затворени в кавички, се третират като текст. Например в повечето други функции, които изискват числов аргумент, текстовата стойност "19" се преобразува в числото 19. Във формулата обаче ISNUMBER("19") тази стойност не се преобразува от текст в число, а функцията ISNUMBERвръща FALSE.

Използване на функции Всяка от функциитеУдобно е да проверявате резултатите от изчисленията във формули. Комбинирането на тези характеристики с функцията в комбинация с функцията, можете да намерите грешки във формулите (вижте примерите по-долу).

Примери

Пример 1

Копирайте примерните данни от следната таблица и ги поставете в клетка A1 на нов работен лист на Excel. За да покажете резултатите от формулите, изберете ги и натиснете F2, след което натиснете Enter. Ако е необходимо, променете ширината на колоните, за да видите всички данни.

Копирайте примерните данни от таблицата по-долу и ги поставете в клетка A1 на нов работен лист на Excel. За да покажете резултатите от формулите, изберете ги и натиснете F2, след което натиснете Enter. Ако е необходимо, променете ширината на колоните, за да видите всички данни.

Данни
Формула	Описание	Резултат
ПРАЗЕН (A2)	Проверява дали клетка C2 е празна
ГРЕШКА (A4)	Проверява дали стойността в клетка A4 (#REF!) е стойност за грешка
	Проверява дали стойността в клетка A4 (#REF!) е стойността за грешка #N/A
	Проверява дали стойността в клетка A6 (#N/A) е стойността за грешка #N/A
	Проверява дали стойността в клетка A6 (#N/A) е стойност за грешка
ISNUMBER(A5)	Проверява дали стойността в клетка A5 (330.92) е число
ETEXT(A3)	Проверява дали стойността в клетка A3 („Регион1“) е текст

г (x) = e x, чиято производна е равна на самата функция.

Показателят се означава като , или .

Номер e

Основата на експонентната степен е номер e. Това е ирационално число. Тя е приблизително равна
д ≈ 2,718281828459045...

Числото e се определя чрез границата на редицата. Това е т.нар втора прекрасна граница:
.

Числото e може да бъде представено и като серия:
.

Експоненциална графика

Експоненциална графика, y = e x .

Графиката показва експоненциала ддо известна степен х.
г (x) = e x
Графиката показва, че експонентата нараства монотонно.

Формули

Основните формули са същите като за експоненциалната функция с основа от степен e.

;
;
;

Изразяване на експоненциална функция с произволна основа от степен a чрез експоненциал:
.

Частни ценности

Нека y (x) = e x.
.

Тогава

Експонентни свойства д > 1 .

Показателят има свойствата на експоненциална функция със степенна основа

Домейн, набор от стойности (x) = e xПоказател y
определени за всички x.
- ∞ < x + ∞ .
Неговата област на дефиниране:
0 < y < + ∞ .

Неговите много значения:

Крайности, увеличаване, намаляване

Експоненциалът е монотонно нарастваща функция, така че няма екстремуми. Основните му свойства са представени в таблицата.

Обратна функция
;
.

Обратната на степента е натурален логаритъм.

Производна на показателя ддо известна степен хПроизводна ддо известна степен х :
.
равна на
.
Производна от n-ти ред:

Извеждане на формули >>>

Интеграл

Комплексни числа Операциите с комплексни числа се извършват с помощта на:
,
Формули на Ойлер
.

къде е имагинерната единица:

; ;
.

Изразяване чрез хиперболични функции

; ;
;
.

Изрази, използващи тригонометрични функции

Разширение на степенни редове
Препратки: