Obwohl dieser Zusammenhang auf den ersten Blick völlig unoffensichtlich erscheint (wissenschaftliche Mathematik scheint eine Sache zu sein und Wirtschaft und Finanzen eine ganz andere), wird jedoch beim Studium der Geschichte der „Entdeckung“ dieser Zahl alles klar. Unabhängig davon, wie die Wissenschaften in verschiedene, scheinbar nicht miteinander verbundene Zweige unterteilt werden, wird das allgemeine Paradigma immer noch dasselbe sein (insbesondere für die Konsumgesellschaft – „Konsum“-Mathematik).

Beginnen wir mit einer Definition. e ist die Basis des natürlichen Logarithmus, eine mathematische Konstante, eine irrationale und transzendente Zahl. Manchmal wird die Zahl e auch Euler-Zahl oder Napier-Zahl genannt. Gekennzeichnet durch den lateinischen Kleinbuchstaben „e“.

Da die Exponentialfunktion e ^ diejenigen, losgelöst von der Natur, fiktiven Prinzipien und überhaupt nicht auf natürlichen).

Diese Zahl wird manchmal Nepier genannt, zu Ehren des schottischen Wissenschaftlers Napier, Autor des Werkes „Description of the Amazing Table of Logarithms“ (1614). Allerdings ist dieser Name nicht ganz korrekt, da Napier die Nummer selbst nicht direkt verwendet hat.

Die Konstante taucht erstmals stillschweigend in einem Anhang der 1618 veröffentlichten englischen Übersetzung von Napiers oben erwähntem Werk auf. Hinter den Kulissen, weil es nur eine Tabelle mit natürlichen Logarithmen enthält, die aus KINEMATISCHEN Überlegungen ermittelt wurden, die Konstante selbst jedoch nicht vorhanden ist.

Die Konstante selbst wurde erstmals vom Schweizer Mathematiker Bernoulli berechnet (nach der offiziellen Version im Jahr 1690), als er das Problem des Grenzwerts des ZINSERKOMMENS löste. Er stellte fest, dass der Endbetrag 2 US-Dollar betragen würde, wenn der ursprüngliche Betrag 1 US-Dollar betrug (die Währung ist völlig unwichtig) und einmal am Jahresende zu 100 % aufgezinst würde. Wenn jedoch die gleichen Zinsen zweimal im Jahr aufgezinst werden, wird 1 $ zweimal mit 1,5 multipliziert, was 1,00 $ x 1,5² = 2,25 $ ergibt. Der vierteljährliche Zinseszins ergibt 1,00 $ x 1,254 = 2,44140625 $ und so weiter. Bernoulli hat gezeigt, dass, wenn die Häufigkeit der Zinsberechnungen unendlich zunimmt, der Zinsertrag bei Zinseszinsen eine Grenze hat – und diese Grenze beträgt 2,71828...

1,00 $×(1+1/12)12 = 2,613035 $…

$1,00×(1+1/365)365 = $2,714568… – im Grenzwert ist die Zahl e

Somit bedeutet die Zahl e tatsächlich historisch gesehen den maximal möglichen JAHRESGEWINN bei 100 % pro Jahr und die maximale Häufigkeit der Zinskapitalisierung. Und was haben die Gesetze des Universums damit zu tun? Die Zahl e ist einer der wichtigen Bausteine ​​im Fundament der monetären Ökonomie der Kreditzinsen in einer Konsumgesellschaft, unter der von Anfang an, auch auf geistig-philosophischer Ebene, die gesamte heute verwendete Mathematik über mehrere Jahrhunderte hinweg angepasst und verschärft wurde vor.

Die erste bekannte Verwendung dieser Konstante, wo sie mit dem Buchstaben b bezeichnet wurde, erscheint in Leibniz‘ Briefen an Huygens, 1690-1691.

Euler begann 1727 mit der Verwendung des Buchstabens e, er erscheint erstmals in einem Brief von Euler an den deutschen Mathematiker Goldbach vom 25. November 1731, und die erste Veröffentlichung mit diesem Buchstaben war sein Werk „Mechanics, or the Science of Motion, Explained Analytically“. “, 1736. Dementsprechend wird e üblicherweise als Euler-Zahl bezeichnet. Obwohl einige Gelehrte später den Buchstaben c verwendeten, wurde der Buchstabe e häufiger verwendet und ist heute die Standardbezeichnung.

Es ist nicht genau bekannt, warum der Buchstabe e gewählt wurde. Vielleicht liegt das daran, dass das Wort exponentiell („indikativ“, „exponentiell“) damit beginnt. Eine weitere Vermutung ist, dass die Buchstaben a, b, c und d bereits recht häufig für andere Zwecke verwendet wurden und e der erste „freie“ Buchstabe war. Bemerkenswert ist auch, dass der Buchstabe e der erste Buchstabe im Nachnamen Euler ist.

Aber auf jeden Fall ist es einfach absurd zu sagen, dass die Zahl e irgendwie mit den universellen Gesetzen des Universums und der Natur zusammenhängt. Diese Zahl war konzeptionell zunächst an das Kredit- und Finanzsystem gebunden, und insbesondere durch diese Zahl (aber nicht nur) beeinflusste die Ideologie des Kredit- und Finanzsystems indirekt die Entstehung und Entwicklung aller anderen Mathematiker und durch sie alle anderen Wissenschaften (schließlich berechnet die Wissenschaft ausnahmslos etwas nach den Regeln und Ansätzen der Mathematik). Die Zahl e spielt eine wichtige Rolle in der Differential- und Integralrechnung, die dadurch eigentlich auch mit der Ideologie und Philosophie der Zinsertragsmaximierung verbunden ist (man könnte sogar sagen, sie ist unbewusst verbunden). Wie hängt der natürliche Logarithmus zusammen? Die Etablierung von e als Konstante (zusammen mit allem anderen) führte zur Bildung impliziter Zusammenhänge im Denken, wonach die gesamte existierende Mathematik einfach nicht isoliert vom Geldsystem existieren kann! Und vor diesem Hintergrund ist es überhaupt nicht verwunderlich, dass die alten Slawen (und nicht nur sie) ohne Konstanten, irrationale und transzendente Zahlen und sogar ohne Zahlen und Zahlen im Allgemeinen (in der Antike fungierten Buchstaben als Zahlen) vollkommen gut auskamen. Eine andere Logik, ein anderes Denken im System ohne Geld (und damit alles, was damit zusammenhängt) macht all das einfach unnötig.

DEFINITION

Nummer ist eine irrationale und transzendente mathematische Konstante namens Euler-Zahl oder Napier-Nummer, die die Basis des natürlichen Logarithmus ist.

Hinter den Kulissen konstant ist in der Arbeit „Description of the Amazing Table of Logarithms“ des schottischen Mathematikers John Napier (1550-1617) enthalten (genauer gesagt im Anhang zur Übersetzung dieser Arbeit, die 1618 veröffentlicht wurde). Die erste Erwähnung dieser Konstante findet sich in den Briefen des sächsischen Philosophen, Logikers, Mathematikers, Mechanikers, Physikers, Anwalts, Historikers, Diplomaten, Erfinders und Linguisten Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) an den niederländischen Mechaniker, Physiker, Mathematiker und Astronomen und Erfinder Christian Huyngens van Zuilichem (1629–1695) in den Jahren 1690–91. Dort wurde es mit dem Buchstaben bezeichnet. Traditionelle Bezeichnung 1727 begann der Schweizer, deutsche, russische Mathematiker und Mechaniker Leonhard Euler (1707-1783), es zu verwenden; Er verwendete es erstmals in seinem Brief an den deutschen Mathematiker Christian Goldbach (1690-1764) im Jahr 1731. Die erste Veröffentlichung mit diesem Brief war L. Eulers Werk „Mechanics, or the Science of Motion, Explained Analytically“ (1736). Die Konstante selbst wurde erstmals vom Schweizer Mathematiker Jacob Bernoulli (1655-1705) berechnet, als er das Problem des Grenzwerts von Zinserträgen löste:

Zahlen spielen in verschiedenen Bereichen der Mathematik, insbesondere in der Differential- und Integralrechnung, eine wichtige Rolle. Die Transzendenz der Eulerschen Zahl wurde erst 1873 vom französischen Mathematiker Charles Hermite (1822-1901) bewiesen.

Nummer e Aufgaben

1) Durch die Grenze:

2,7182818284590452353602874713527… Hexadezimal 2,B7E151628AED2A6A… sexagesimal 2; 43 05 48 52 29 48 35 … Rationale Näherungen 8 / 3 ; 11 / 4 ; 19 / 7 ; 87 / 32 ; 106 / 39 ; 193 / 71 ; 1264 / 465 ; 2721 / 1001 ; 23225 / 8544

(aufgelistet in der Reihenfolge zunehmender Genauigkeit)

Fortsetzungsbruch

Bestimmungsmethoden

Nummer e kann auf verschiedene Arten definiert werden.

• Über dem Limit: e = lim x → ∞ (1 + 1 x) x (\displaystyle e=\lim _(x\to \infty )\left(1+(\frac (1)(x))\right)^(x) )(zweite bemerkenswerte Grenze). e = lim n → ∞ n n !}}} !} n (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n
• (Dies folgt aus der Moivre-Stirling-Formel). Als Summe der Reihe:}} !} e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! (\displaystyle e=\sum _(n=0)^(\infty )(\frac (1)(n}} !}.
• oder 1 e = ∑ n = 2 ∞ (− 1) n n !(\displaystyle (\frac (1)(e))=\sum _(n=2)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n Als Singular
• ein (\displaystyle a) 1 e = ∑ n = 2 ∞ (− 1) n n !, wofür ∫ 1 a d x x = 1. (\displaystyle \int \limits _(1)^(a)(\frac (dx)(x))=1.)

Als einzige positive Zahl

, wofür es wahr ist

d d x a x = a x . (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Eigenschaften Beweis der Irrationalität Nehmen wir das an e (\displaystyle e) rational. Dann e = p / q (\displaystyle e=p/q), Wo p (\displaystyle p) - ganz, und q (\displaystyle q) - natürlich. !} Somit p = e q (\displaystyle p=eq)=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}} !} Beide Seiten der Gleichung mit multiplizieren (q − 1) !} !}(\displaystyle (q-1) , bekommen wir=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}} !} Alle Terme auf der rechten Seite sind ganze Zahlen, daher ist die Summe auf der linken Seite ganzzahlig. Aber auch diese Summe ist positiv, also nicht kleiner als 1. Auf der anderen Seite, ∑ n = q + 1 ∞ q !< ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) m {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}} N! = ∑ m = 1 ∞ q ! (q + m) !< 1 q {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}} = ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) . ., (q + m) !< 1 {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1} .

• Nummer (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)(q + m) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Wenn wir den geometrischen Verlauf auf der rechten Seite zusammenfassen, erhalten wir:
• ∑ n = q + 1 ∞ q ! (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) N!
• Nummer e Seit
• q ≥ 1 (\displaystyle q\geq 1) Wir erhalten einen Widerspruch.
• transzendental. Dies wurde erstmals 1873 von Charles Hermite nachgewiesen. Transzendenz der Zahl (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) folgt aus dem Satz von Lindemann. Es wird davon ausgegangen- normale Zahl, d. h. die Häufigkeit des Auftretens verschiedener Ziffern in ihrer Notation ist gleich. Derzeit (2017) ist diese Hypothese nicht bewiesen. ist eine berechenbare (und daher arithmetische) Zahl.
• e i x = cos ⁡ (x) + i ⋅ sin ⁡ (x) (\displaystyle e^(ix)=\cos(x)+i\cdot \sin(x)) , siehe insbesondere Eulers Formel Formel, die Zahlen verbindet Und}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.} !}
• Nummer eπ (\displaystyle \pi ) , sog Poisson-Integral oder Gauß-Integral∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π (\displaystyle \int \limits _(-\infty )^(\infty )\ e^(-x^(2))(dx)=(\sqrt (\pi ))) Für jede komplexe Zahl
• z Die folgenden Gleichheiten sind wahr:
• e z = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! z n = lim n → ∞ (1 + z n) n .
• e = lim n → ∞ n n !}}.} !}
• N. (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n Darstellung des Katalanischen:
• e = 2 ⋅ 4 3 ⋅ 6 ⋅ 8 5 ⋅ 7 4 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 16 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 8 ⋅ 18 ⋅ 20 ⋅ 22 ⋅ 24 ⋅ 2 6 ⋅ 28 ⋅ 30 ⋅ 32 17 ⋅ 19 ⋅ 21 ⋅ 23 ⋅ 25 ⋅ 27 ⋅ 29 ⋅ 31 16 ⋯ (\displaystyle e=2\cdot (\sqrt (\frac (4)(3)))\cdot (\sqrt[(4)](\frac (6 \cdot 8)(5\cdot 7)))\cdot (\sqrt[(8)](\frac (10\cdot 12\cdot 14\cdot 16)(9\cdot 11\cdot 13\cdot 15)) )\cdot (\sqrt[(16)](\frac (18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32)(17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\ cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31)))\cdots ) Darstellung durch das Werk:
• e = 3 ⋅ ∏ k = 1 ∞ (2 k + 3) k + 1 2 (2 k − 1) k − 1 2 (2 k + 1) 2 k (\displaystyle e=(\sqrt (3))\ cdot \prod \limits _(k=1)^(\infty )(\frac (\left(2k+3\right)^(k+(\frac (1)(2)))\left(2k-1\ rechts)^(k-(\frac (1)(2))))(\left(2k+1\right)^(2k))))

Durch Bell-Zahlen}} !}

E = 1 B n ∑ k = 0 ∞ k n k !

(\displaystyle e=(\frac (1)(B_(n)))\sum _(k=0)^(\infty )(\frac (k^(n))(k Geschichte Diese Nummer wird manchmal angerufen nicht gefiedert zu Ehren des schottischen Wissenschaftlers Napier, Autor des Werkes „Description of the Amazing Table of Logarithms“ (1614). Allerdings ist dieser Name nicht ganz korrekt, da er einen Logarithmus der Zahl hat x (\displaystyle x).

war gleich

10 7 ⋅ log 1 / e ⁡ (x 10 7) (\displaystyle 10^(7)\cdot \,\log _(1/e)\left((\frac (x)(10^(7))) \Rechts)) Die Konstante taucht erstmals stillschweigend in einem Anhang der 1618 veröffentlichten englischen Übersetzung von Napiers oben erwähntem Werk auf. Hinter den Kulissen, denn es enthält nur eine Tabelle der aus kinematischen Überlegungen ermittelten natürlichen Logarithmen, die Konstante selbst ist jedoch nicht vorhanden. Die Konstante selbst wurde erstmals vom Schweizer Mathematiker Jacob Bernoulli berechnet, als er das Problem des Grenzwerts von Zinserträgen löste. Er entdeckte, dass es sich um den ursprünglichen Betrag handelte $ 1 (\displaystyle \$1) und wird jährlich einmal am Jahresende berechnet, dann ergibt sich der Gesamtbetrag Die Konstante taucht erstmals stillschweigend in einem Anhang der 1618 veröffentlichten englischen Übersetzung von Napiers oben erwähntem Werk auf. Hinter den Kulissen, denn es enthält nur eine Tabelle der aus kinematischen Überlegungen ermittelten natürlichen Logarithmen, die Konstante selbst ist jedoch nicht vorhanden.$ 2 (\displaystyle \$2) . Wenn aber zweimal im Jahr die gleichen Zinsen berechnet werden, dann multipliziert mit 1 , 5 (\displaystyle 1(,)5) zweimal, bekommen $ 1 , 00 ⋅ 1 , 5 2 = $ 2 , 25 (\displaystyle \$1(,)00\cdot 1(,)5^(2)=\$2(,)25), und so weiter. Bernoulli zeigte, dass, wenn die Häufigkeit der Zinsberechnungen ins Unendliche erhöht wird, der Zinsertrag beim Zinseszins eine Grenze hat: lim n → ∞ (1 + 1 n) n .(\displaystyle \lim _(n\to \infty )\left(1+(\frac (1)(n))\right)^(n).) und diese Grenze ist gleich der Zahl.

e (≈ 2,718 28) (\displaystyle e~(\ungefähr 2(,)71828))

$ 1,00 ⋅ (1 + 1 12) 12 = $ 2,613 035... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(12))\right)^( 12) =\$2(,)613035...)

$ 1, 00 ⋅ (1 + 1.365) 365 = $ 2.714.568... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(365))\right)^( 365) =\$2(,)714568...) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Also die Konstante bedeutet den maximal möglichen Jahresgewinn bei 100 % (\displaystyle 100\%)

pro Jahr und maximale Häufigkeit der Zinskapitalisierung. Die erste bekannte Verwendung dieser Konstante, bei der sie mit dem Buchstaben bezeichnet wurde b (\displaystyle b)

, gefunden in Leibniz' Briefen an Huygens, -1691. (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Brief (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Euler begann es im Jahr 1727 zu verwenden, es findet sich erstmals in einem Brief von Euler an den deutschen Mathematiker Goldbach vom 25. November 1731, und die erste Veröffentlichung mit diesem Brief war sein Werk „Mechanics, or the Science of Motion, Explained Analytically“. 1736. Jeweils, Euler-Zahl normalerweise aufgerufen . Obwohl einige Wissenschaftler den Brief später verwendeten c (\displaystyle c) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).), Brief

wurde häufiger verwendet und ist heute die Standardbezeichnung. Jede der Funktionen E testet den angegebenen Wert und gibt je nach Ergebnis TRUE oder FALSE zurück. Zum Beispiel die Funktion LEER

gibt den booleschen Wert TRUE zurück, wenn der getestete Wert eine Referenz auf eine leere Zelle ist; andernfalls wird der boolesche Wert FALSE zurückgegeben. Jede der Funktionen Funktionen werden verwendet, um Informationen über einen Wert zu erhalten, bevor eine Berechnung oder eine andere Aktion daran durchgeführt wird. Um beispielsweise bei Auftreten eines Fehlers eine andere Aktion auszuführen, können Sie die Funktion verwenden FEHLER in Kombination mit der Funktion:

= WENN WENN(

FEHLER(A1); „Es ist ein Fehler aufgetreten.“; A1*2) in Kombination mit der Funktion Diese Formel prüft, ob in Zelle A1 ein Fehler vorliegt. Wenn ein Fehler auftritt, wird die Funktion in Kombination mit der Funktion gibt die Meldung „Es ist ein Fehler aufgetreten“ zurück. Wenn keine Fehler vorliegen, wird die Funktion

berechnet das Produkt A1*2.

Syntax

LEER (Wert)

EOS(Wert)

FEHLER(Wert)

ELOGIC(Wert)

UNM(Wert)

NETTEXT(Wert)

ETEXT(Wert) Jede der Funktionen Funktionsargument

werden im Folgenden beschrieben. Erforderliches Argument. Der überprüfte Wert. Der Wert dieses Arguments kann eine leere Zelle, ein Fehlerwert, ein boolescher Wert, Text, eine Zahl, ein Verweis auf eines der aufgelisteten Objekte oder der Name eines solchen Objekts sein.

Funktion	Gibt TRUE zurück, wenn
	Das Wertargument bezieht sich auf eine leere Zelle
	Das Wertargument bezieht sich auf einen beliebigen Fehlerwert außer #N/A
	Das Wertargument bezieht sich auf einen beliebigen Fehlerwert (#N/A, #VALUE!, #REF!, #DIV/0!, #NUM!, #NAME? oder #EMPTY!)
	Das Wertargument bezieht sich auf einen booleschen Wert
	Das Wertargument bezieht sich auf den #N/A-Fehlerwert (Wert nicht verfügbar).
ENETEXT	Das Wertargument bezieht sich auf jedes Element, das kein Text ist. (Beachten Sie, dass die Funktion TRUE zurückgibt, wenn sich das Argument auf eine leere Zelle bezieht.)
	Das Wertargument bezieht sich auf eine Zahl
	Das Wertargument bezieht sich auf den Text

Notizen

Argumente in Funktionen Jede der Funktionen werden nicht konvertiert. Alle in Anführungszeichen eingeschlossenen Zahlen werden als Text behandelt. Beispielsweise wird in den meisten anderen Funktionen, die ein numerisches Argument erfordern, der Textwert „19“ in die Zahl 19 umgewandelt ISNUMBER("19") Dieser Wert wird nicht vom Text in eine Zahl umgewandelt, und die Funktion ISNUMMER gibt FALSE zurück.

Funktionen nutzen Jede der Funktionen Es ist praktisch, die Ergebnisse von Berechnungen in Formeln zu überprüfen. Kombinieren Sie diese Funktionen mit der Funktion in Kombination mit der Funktion können Sie Fehler in Formeln finden (siehe Beispiele unten).

Beispiele

Beispiel 1

Kopieren Sie die Beispieldaten aus der folgenden Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 eines neuen Excel-Arbeitsblatts ein. Um die Ergebnisse von Formeln anzuzeigen, wählen Sie sie aus, drücken Sie F2 und drücken Sie dann die Eingabetaste. Ändern Sie bei Bedarf die Breite der Spalten, um alle Daten anzuzeigen.

Kopieren Sie die Beispieldaten aus der Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 eines neuen Excel-Arbeitsblatts ein. Um die Ergebnisse von Formeln anzuzeigen, wählen Sie sie aus, drücken Sie F2 und drücken Sie dann die Eingabetaste. Ändern Sie bei Bedarf die Breite der Spalten, um alle Daten anzuzeigen.

Daten
Formel	Beschreibung	Ergebnis
LEER (A2)	Überprüft, ob Zelle C2 leer ist
FEHLER (A4)	Überprüft, ob der Wert in Zelle A4 (#REF!) ein Fehlerwert ist
	Überprüft, ob der Wert in Zelle A4 (#REF!) der Fehlerwert #N/A ist
	Überprüft, ob der Wert in Zelle A6 (#N/A) dem Fehlerwert #N/A entspricht
	Überprüft, ob der Wert in Zelle A6 (#N/A) ein Fehlerwert ist
ISNUMMER(A5)	Testet, ob der Wert in Zelle A5 (330,92) eine Zahl ist
ETEXT(A3)	Überprüft, ob der Wert in Zelle A3 („Region1“) Text ist

j (x) = e x, deren Ableitung gleich der Funktion selbst ist.

Der Exponent wird als , oder bezeichnet.

Nummer e

Die Basis des Exponentengrades ist Nummer e. Dies ist eine irrationale Zahl. Es ist ungefähr gleich
e ≈ 2,718281828459045...

Die Zahl e wird durch den Grenzwert der Folge bestimmt. Dies ist das sogenannte zweite wunderbare Grenze:
.

Die Zahl e kann auch als Reihe dargestellt werden:
.

Exponentialdiagramm

Exponentialgraph, y = e x .

Die Grafik zeigt die Exponentialfunktion e bis zu einem gewissen Grad X.
j (x) = e x
Die Grafik zeigt, dass der Exponent monoton ansteigt.

Formeln

Die Grundformeln sind dieselben wie für die Exponentialfunktion mit einer Basis vom Grad e.

;
;
;

Ausdruck einer Exponentialfunktion mit beliebiger Basis vom Grad a durch eine Exponentialfunktion:
.

Private Werte

Lass dich (x) = e x.
.

Dann

Exponenteneigenschaften e > 1 .

Der Exponent hat die Eigenschaften einer Exponentialfunktion mit Potenzbasis

Domäne, Wertemenge (x) = e x Exponent y
für alle x definiert.
- ∞ < x + ∞ .
Sein Definitionsbereich:
0 < y < + ∞ .

Seine vielen Bedeutungen:

Extreme, zunehmend, abnehmend

Die Exponentialfunktion ist eine monoton steigende Funktion und weist daher keine Extrema auf. Seine Haupteigenschaften sind in der Tabelle aufgeführt.

Umkehrfunktion
;
.

Der Kehrwert des Exponenten ist der natürliche Logarithmus.

Ableitung des Exponenten e bis zu einem gewissen Grad X Derivat e bis zu einem gewissen Grad X :
.
gleich
.
Ableitung n-ter Ordnung:

Formeln ableiten > > >

Integral

Komplexe Zahlen Operationen mit komplexen Zahlen werden mit ausgeführt:
,
Eulers Formeln
.

Wo ist die imaginäre Einheit:

; ;
.

Ausdrücke durch hyperbolische Funktionen

; ;
;
.

Ausdrücke mit trigonometrischen Funktionen

Erweiterung der Potenzreihen
Verwendete Literatur: