Aunque esta conexión a primera vista parece completamente obvia (las matemáticas científicas, al parecer, son una cosa, y la economía y las finanzas son otra muy distinta), pero una vez que se estudia la historia del "descubrimiento" de este número, todo se vuelve obvio. De hecho, no importa cómo se dividan las ciencias en diferentes ramas aparentemente no relacionadas, el paradigma general seguirá siendo el mismo (en particular, para la sociedad de consumo: las matemáticas "de consumo").

Comencemos con una definición. e es la base del logaritmo natural, una constante matemática, un número irracional y trascendental. A veces, el número e se llama número de Euler o número de Napier. Denotado por la letra latina minúscula “e”.

Dado que la función exponencial e^x está integrada y diferenciada "en sí misma", los logaritmos basados ​​en la base e se aceptan como naturales (aunque el nombre mismo de "naturalidad" debería estar en gran duda, porque todas las matemáticas se basan esencialmente en inventados artificialmente). divorciados de los principios ficticios de la naturaleza, y en absoluto de los naturales).

Este número a veces se llama Nepier en honor al científico escocés Napier, autor de la obra "Descripción de la asombrosa tabla de logaritmos" (1614). Sin embargo, este nombre no es del todo correcto, ya que Napier no utilizó directamente el número en sí.

La constante aparece tácitamente por primera vez en un apéndice de la traducción inglesa de la obra de Napier antes mencionada, publicada en 1618. Detrás de escena, porque contiene sólo una tabla de logaritmos naturales determinada a partir de consideraciones CINEMÁTICAS, pero la constante en sí no está presente.

La constante en sí fue calculada por primera vez por el matemático suizo Bernoulli (según la versión oficial de 1690) mientras resolvía el problema del valor límite de los INGRESOS POR INTERESES. Descubrió que si la cantidad original era de 1 dólar (la moneda no tiene ninguna importancia) y se capitalizaba al 100% anual una vez al final del año, la cantidad final sería de 2 dólares. Pero si el mismo interés se capitaliza dos veces al año, entonces $1 se multiplica por 1,5 dos veces, lo que da como resultado $1,00 x 1,5² = $2,25. El interés compuesto trimestral da como resultado $1,00 x 1,254 = $2,44140625, y así sucesivamente. Bernoulli demostró que si la frecuencia de cálculo de los intereses AUMENTA INFINITAMENTE, entonces los ingresos por intereses en el caso del interés compuesto tienen un límite, y este límite es igual a 2,71828...

$1,00×(1+1/12)12 = $2,613035…

$1.00×(1+1/365)365 = $2.714568… - en el límite el número e

Por lo tanto, el número e en realidad significa históricamente la GANANCIA ANUAL máxima posible al 100% anual y la frecuencia máxima de capitalización de intereses. ¿Y qué tienen que ver las leyes del Universo con esto? El número e es uno de los pilares importantes en la base de la economía monetaria de los intereses de los préstamos en una sociedad de consumo, bajo el cual desde el principio, incluso en el nivel filosófico mental, todas las matemáticas utilizadas hoy en día se ajustaron y perfeccionaron durante varios siglos. atrás.

El primer uso conocido de esta constante, donde se denota con la letra b, aparece en las cartas de Leibniz a Huygens, 1690-1691.

Euler comenzó a utilizar la letra e en 1727, aparece por primera vez en una carta de Euler al matemático alemán Goldbach fechada el 25 de noviembre de 1731, y la primera publicación con esta carta fue su obra “La mecánica, o la ciencia del movimiento, explicada analíticamente”. ”, 1736. En consecuencia, e suele denominarse número de Euler. Aunque algunos estudiosos utilizaron posteriormente la letra c, la letra e se utilizó con más frecuencia y es la designación estándar en la actualidad.

No se sabe exactamente por qué se eligió la letra e. Quizás esto se deba al hecho de que la palabra exponencial (“indicativa”, “exponencial”) comienza con ella. Otra sugerencia es que las letras a, b, cyd ya eran de uso bastante común para otros fines, y la e fue la primera letra "libre". También es de destacar que la letra e es la primera letra del apellido Euler.

Pero en cualquier caso, decir que el número e de alguna manera se relaciona con las leyes universales del Universo y la naturaleza es simplemente absurdo. Este número, por el concepto mismo, estuvo inicialmente vinculado al sistema monetario financiero y crediticio y, en particular, a través de este número (pero no solo), la ideología del sistema financiero y crediticio influyó indirectamente en la formación y el desarrollo de todas las demás matemáticas, y a través de él. todas las demás ciencias (después de todo, sin excepción, la ciencia calcula algo utilizando las reglas y enfoques de las matemáticas). El número e juega un papel importante en el cálculo diferencial e integral, que a través de él también está relacionado con la ideología y la filosofía de maximizar el ingreso por intereses (incluso se podría decir que está relacionado de manera subconsciente). ¿Cómo se relaciona el logaritmo natural? Establecer e como una constante (junto con todo lo demás) condujo a la formación de conexiones implícitas en el pensamiento, según las cuales todas las matemáticas existentes simplemente no pueden existir aisladas del sistema monetario. Y desde este punto de vista, no es de extrañar que los antiguos eslavos (y no sólo ellos) se las arreglaran perfectamente sin constantes, números irracionales y trascendentales, e incluso sin números y números en general (las letras actuaban como números en la antigüedad), Una lógica diferente, un pensamiento diferente en el sistema en ausencia de dinero (y por lo tanto de todo lo relacionado con él) hace que todo lo anterior sea simplemente innecesario.

DEFINICIÓN

Número es una constante matemática irracional y trascendental llamada número de Euler o número de napier, que es la base del logaritmo natural.

Detrás de escena constante está presente en la obra “Descripción de la asombrosa tabla de logaritmos” del matemático escocés John Napier (1550-1617) (más precisamente, en el apéndice de la traducción de esta obra, que se publicó en 1618). La primera mención de esta constante se encuentra en las cartas del filósofo, lógico, matemático, mecánico, físico, abogado, historiador, diplomático, inventor y lingüista sajón Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) al mecánico, físico, matemático y astrónomo holandés. y el inventor Christian Huyngens van Zuilichem (1629-1695) en 1690-91. Allí fue designado por la letra. Designación tradicional en 1727 el matemático y mecánico suizo, alemán, ruso Leonhard Euler (1707-1783) empezó a utilizarlo; lo utilizó por primera vez en su carta al matemático alemán Christian Goldbach (1690-1764) en 1731. La primera publicación con esta carta fue la obra de L. Euler “La mecánica o la ciencia del movimiento explicada analíticamente” (1736). La constante en sí fue calculada por primera vez por el matemático suizo Jacob Bernoulli (1655-1705) mientras resolvía el problema del valor límite de los ingresos por intereses:

El número juega un papel importante en diversas ramas de las matemáticas, y especialmente en el cálculo diferencial e integral. La trascendencia del número de Euler fue demostrada por el matemático francés Charles Hermite (1822-1901) recién en 1873.

Número e tareas

1) A través del límite:

2,7182818284590452353602874713527… hexadecimal 2,B7E151628AED2A6A… sexagésimo 2; 43 05 48 52 29 48 35 … Aproximaciones racionales 8 / 3 ; 11 / 4 ; 19 / 7 ; 87 / 32 ; 106 / 39 ; 193 / 71 ; 1264 / 465 ; 2721 / 1001 ; 23225 / 8544

(enumerados en orden de precisión creciente)

fracción continua

Métodos de determinación

Número mi se puede definir de varias maneras.

• Por encima del límite: e = lim x → ∞ (1 + 1 x) x (\displaystyle e=\lim _(x\to \infty )\left(1+(\frac (1)(x))\right)^(x) )(segundo límite destacable). mi = lim norte → ∞ norte norte !}}} !} n (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n
• (Esto se desprende de la fórmula de Moivre-Stirling). Como suma de la serie:}} !} mi = ∑ norte = 0 ∞ 1 norte ! (\displaystyle e=\sum _(n=0)^(\infty )(\frac (1)(n}} !}.
• o 1 mi = ∑ norte = 2 ∞ (− 1) norte norte !(\displaystyle (\frac (1)(e))=\sum _(n=2)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n como singular
• un (displaystyle a) 1 mi = ∑ norte = 2 ∞ (− 1) norte norte !, para lo cual ∫ 1 a d x x = 1. (\displaystyle \int \limits _(1)^(a)(\frac (dx)(x))=1.)

Como el único número positivo.

, para lo cual es cierto

re d x a x = a x . (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Propiedades Prueba de irracionalidad Supongamos que mi (\displaystyle e) racional. Entonces mi = p / q (\displaystyle e=p/q), Dónde pag (\displaystyle p) - entero, y q (\displaystyle q) - natural. !} Por eso p = mi q (\displaystyle p=eq)=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}} !} Multiplicando ambos lados de la ecuación por (q − 1) !} !}(\displaystyle (q-1) , obtenemos=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}} !} Todos los términos del lado derecho son números enteros, por lo tanto la suma del lado izquierdo es un número entero. Pero esta suma también es positiva, lo que significa que no es menor que 1. Allende, ∑ norte = q + 1 ∞ q !< ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) m {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}} ¡norte! = ∑ metro = 1 ∞ q ! (q+m) !< 1 q {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}} = ∑ metro = 1 ∞ 1 (q + 1) . ., (q+m) !< 1 {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1} .

• Número (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)(q+m) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Resumiendo la progresión geométrica del lado derecho, obtenemos:
• ∑ norte = q + 1 ∞ q ! (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)¡norte!
• Número mi Porque
• q ≥ 1 (\displaystyle q\geq 1) Obtenemos una contradicción.
• trascendental. Esto fue demostrado por primera vez en 1873 por Charles Hermite. Trascendencia del número (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) se sigue del teorema de Lindemann. Se supone que- número normal, es decir, la frecuencia de aparición de diferentes dígitos en su notación es la misma. Actualmente (2017) esta hipótesis no ha sido probada. es un número computable (y por tanto aritmético).
• mi yo x = porque ⁡ (x) + yo ⋅ pecado ⁡ (x) (\displaystyle e^(ix)=\cos(x)+i\cdot \sin(x)) , ver la fórmula de Euler, en particular Fórmula que conecta números Y}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.} !}
• Número miπ (\displaystyle\pi ) , llamado Integral de Poisson o integral de Gauss∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π (\displaystyle \int \limits _(-\infty )^(\infty )\ e^(-x^(2))(dx)=(\sqrt (\pi ))) Para cualquier número complejo
• z las siguientes igualdades son verdaderas:
• mi z = ∑ norte = 0 ∞ 1 norte ! z norte = lim norte → ∞ (1 + z norte) norte .
• mi = lim norte → ∞ norte norte !}}.} !}
• norte. (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n Representación del catalán:
• mi = 2 ⋅ 4 3 ⋅ 6 ⋅ 8 5 ⋅ 7 4 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 16 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 8 ⋅ 18 ⋅ 20 ⋅ 22 ⋅ 24 ⋅ 26 ⋅ 28 ⋅ 30 ⋅ 32 17 ⋅ 19 ⋅ 21 ⋅ 23 ⋅ 25 ⋅ 27 ⋅ 29 ⋅ 31 16 ⋯ (\displaystyle e=2\cdot (\sqrt (\frac (4)(3)))\cdot (\sqrt[(4)](\frac (6 \cdot 8)(5\cdot 7)))\cdot (\sqrt[(8)](\frac (10\cdot 12\cdot 14\cdot 16)(9\cdot 11\cdot 13\cdot 15)) )\cdot (\sqrt[(16)](\frac (18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32)(17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\ cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31)))\cdots ) Representación a través de la obra:
• e = 3 ⋅ ∏ k = 1 ∞ (2 k + 3) k + 1 2 (2 k − 1) k − 1 2 (2 k + 1) 2 k (\displaystyle e=(\sqrt (3))\ cdot \prod \limits _(k=1)^(\infty )(\frac (\left(2k+3\right)^(k+(\frac (1)(2)))\left(2k-1\ derecha)^(k-(\frac (1)(2))))(\left(2k+1\right)^(2k))))

A través de números de Bell}} !}

mi = 1 segundo norte ∑ k = 0 ∞ k norte k !

(\displaystyle e=(\frac (1)(B_(n)))\sum _(k=0)^(\infty )(\frac (k^(n))(k Historia Este número a veces se llama sin plumas en honor al científico escocés Napier, autor de la obra “Descripción de la asombrosa tabla de logaritmos” (1614). Sin embargo, este nombre no es del todo correcto, ya que tiene un logaritmo del número x (\displaystyle x).

era igual

10 7 ⋅ log 1 / e ⁡ (x 10 7) (\displaystyle 10^(7)\cdot \,\log _(1/e)\left((\frac (x)(10^(7))) \bien)) La constante aparece tácitamente por primera vez en un apéndice de la traducción inglesa de la obra de Napier antes mencionada, publicada en 1618. Detrás de escena, porque contiene sólo una tabla de logaritmos naturales determinada a partir de consideraciones cinemáticas, pero la constante en sí no está presente. La constante en sí fue calculada por primera vez por el matemático suizo Jacob Bernoulli mientras resolvía el problema del valor límite de los ingresos por intereses. Descubrió que si la cantidad original $1 (\displaystyle\$1) y se calcula anualmente una vez al final del año, entonces el monto total será La constante aparece tácitamente por primera vez en un apéndice de la traducción inglesa de la obra de Napier antes mencionada, publicada en 1618. Detrás de escena, porque contiene sólo una tabla de logaritmos naturales determinada a partir de consideraciones cinemáticas, pero la constante en sí no está presente.$2 (\displaystyle\$2) . Pero si el mismo interés se calcula dos veces al año, entonces multiplicado por 1, 5 (\displaystyle 1(,)5) dos veces, obteniendo $ 1, 00 ⋅ 1, 5 2 = $ 2, 25 (\displaystyle \$1(,)00\cdot 1(,)5^(2)=\$2(,)25), etcétera. Bernoulli demostró que si la frecuencia de los cálculos de intereses aumenta indefinidamente, entonces los ingresos por intereses en el caso del interés compuesto tienen un límite: lim norte → ∞ (1 + 1 norte) norte.(\displaystyle \lim _(n\to \infty )\left(1+(\frac (1)(n))\right)^(n).) y este límite es igual al número.

mi (≈ 2,718 28) (\displaystyle e~(\approx 2(,)71828))

$ 1, 00 ⋅ (1 + 1 12) 12 = $ 2,613,035... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(12))\right)^( 12 )=\$2(,)613035...)

$ 1, 00 ⋅ (1 + 1,365) 365 = $ 2,714,568... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(365))\right)^( 365) =\$2(,)714568...) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Entonces la constante significa el máximo beneficio anual posible en 100% (\displaystyle 100\%)

anual y frecuencia máxima de capitalización de intereses. El primer uso conocido de esta constante, donde se denota con la letra segundo (\displaystyle b)

, encontrado en las cartas de Leibniz a Huygens, -1691. (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Carta (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Euler comenzó a utilizarlo en 1727, se encuentra por primera vez en una carta de Euler al matemático alemán Goldbach fechada el 25 de noviembre de 1731, y la primera publicación con esta carta fue su obra "La mecánica o la ciencia del movimiento, explicada analíticamente". 1736. Respectivamente, número de Euler generalmente llamado . Aunque algunos científicos utilizaron posteriormente la letra c (displaystyle c) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).), carta

se usó con más frecuencia y ahora es la designación estándar. Cada una de las funciones mi prueba el valor especificado y devuelve VERDADERO o FALSO según el resultado. Por ejemplo, la función VACÍO

devuelve el valor booleano VERDADERO si el valor que se está probando es una referencia a una celda vacía; de lo contrario, se devuelve el valor booleano FALSO. Cada una de las funciones Funciones se utilizan para obtener información sobre un valor antes de realizar un cálculo u otra acción sobre él. Por ejemplo, para realizar una acción diferente cuando ocurre un error, puede usar la función ERROR en combinación con la función:

= SI SI(

ERROR(A1); "Ocurrió un error."; A1*2) en combinación con la función Esta fórmula busca un error en la celda A1. Cuando ocurre un error, la función en combinación con la función devuelve el mensaje "Se produjo un error". Si no hay errores, la función

calcula el producto A1*2.

Sintaxis

VACÍO (valor)

EOS(valor)

ERROR(valor)

ELOGICO(valor)

UNM(valor)

NETTEXTO(valor)

ETEXTO(valor) Cada una de las funciones argumento de función

se describen a continuación. Argumento requerido. El valor que se está comprobando. El valor de este argumento puede ser una celda vacía, un valor de error, un valor booleano, texto, un número, una referencia a cualquiera de los objetos enumerados o el nombre de dicho objeto.

Función	Devuelve VERDADERO si
	El argumento de valor se refiere a una celda vacía.
	El argumento de valor se refiere a cualquier valor de error que no sea #N/A
	El argumento de valor se refiere a cualquier valor de error (#N/A, #¡VALOR!, #¡REF!, #¡DIV/0!, #¡NUM!, #¡NOMBRE? o #¡VACÍO!)
	El argumento de valor se refiere a un valor booleano.
	El argumento de valor se refiere al valor de error #N/A (valor no disponible)
ENETEXTO	El argumento valor se refiere a cualquier elemento que no sea texto. (Tenga en cuenta que la función devuelve VERDADERO si el argumento se refiere a una celda vacía).
	El argumento de valor se refiere a un número.
	El argumento de valor se refiere al texto.

Notas

Argumentos en funciones Cada una de las funciones no están convertidos. Cualquier número entre comillas se trata como texto. Por ejemplo, en la mayoría de las otras funciones que requieren un argumento numérico, el valor de texto "19" se convierte al número 19. Sin embargo, en la fórmula ESNÚMERO("19") este valor no se convierte de texto a número, y la función ESNÚMERO devuelve FALSO.

Usando funciones Cada una de las funciones Es conveniente comprobar los resultados de los cálculos mediante fórmulas. Combinando estas características con la función en combinación con la función, puede encontrar errores en las fórmulas (ver ejemplos a continuación).

Ejemplos

Ejemplo 1

Copie los datos de muestra de la siguiente tabla y péguelos en la celda A1 de una nueva hoja de cálculo de Excel. Para mostrar los resultados de las fórmulas, selecciónelas y presione F2, luego presione Enter. Si es necesario, cambia el ancho de las columnas para ver todos los datos.

Copie los datos de muestra de la siguiente tabla y péguelos en la celda A1 de una nueva hoja de cálculo de Excel. Para mostrar los resultados de las fórmulas, selecciónelas y presione F2, luego presione Enter. Si es necesario, cambia el ancho de las columnas para ver todos los datos.

Datos
Fórmula	Descripción	Resultado
VACÍO (A2)	Comprueba si la celda C2 está vacía
ERROR(A4)	Comprueba si el valor de la celda A4 (#REF!) es un valor de error
	Comprueba si el valor de la celda A4 (#REF!) es el valor de error #N/A
	Comprueba si el valor en la celda A6 (#N/A) es el valor de error #N/A
	Comprueba si el valor de la celda A6 (#N/A) es un valor de error
ESNÚMERO(A5)	Comprueba si el valor de la celda A5 (330.92) es un número
ETEXTO(A3)	Comprueba si el valor de la celda A3 ("Región1") es texto

y (x) = e x, cuya derivada es igual a la función misma.

El exponente se denota como , o .

Número e

La base del grado del exponente es numero e. Este es un número irracional. es aproximadamente igual
mi ≈ 2,718281828459045...

El número e está determinado por el límite de la secuencia. Este es el llamado segundo límite maravilloso:
.

El número e también se puede representar como una serie:
.

Gráfico exponencial

Gráfica exponencial, y = e x .

La gráfica muestra el exponente. mi hasta cierto punto incógnita.
y (x) = e x
La gráfica muestra que el exponente aumenta monótonamente.

Fórmulas

Las fórmulas básicas son las mismas que para la función exponencial con base de grado e.

;
;
;

Expresión de una función exponencial con base arbitraria de grado a a través de una exponencial:
.

Valores privados

deja que y (x) = e x.
.

Entonces

Propiedades del exponente mi > 1 .

El exponente tiene las propiedades de una función exponencial con una base de potencia.

Dominio, conjunto de valores. (x) = e x Exponente y
definido para todo x.
- ∞ < x + ∞ .
Su dominio de definición:
0 < y < + ∞ .

Sus múltiples significados:

Extremos, aumentando, disminuyendo.

La exponencial es una función monótonamente creciente, por lo que no tiene extremos. Sus principales propiedades se presentan en la tabla.

función inversa
;
.

El inverso del exponente es el logaritmo natural.

Derivada del exponente mi hasta cierto punto incógnita Derivado mi hasta cierto punto incógnita :
.
igual a
.
Derivada de enésimo orden:

Derivando fórmulas > > >

Integral

Números complejos Las operaciones con números complejos se realizan utilizando:
,
las fórmulas de euler
.

¿Dónde está la unidad imaginaria?

; ;
.

Expresiones mediante funciones hiperbólicas.

; ;
;
.

Expresiones usando funciones trigonométricas.

Expansión de series de potencias
Literatura usada: