uptostart.ru Uutiset. Pelit. Ohjeet. Internet. Toimisto.
Vaikka tämä yhteys näyttää ensi silmäyksellä täysin ilmeiseltä (tieteellinen matematiikka näyttää olevan yksi asia, ja talous ja rahoitus ovat aivan eri asia), mutta kun tutkit tämän luvun "löydön" historiaa, kaikki käy ilmi. Itse asiassa, riippumatta siitä, kuinka tieteet jaetaan erilaisiin näennäisesti toisiinsa liittymättömiin haaroihin, yleinen paradigma on silti sama (erityisesti kuluttajayhteiskunnassa - "kuluttajamatematiikka".
Aloitetaan määritelmästä. e on luonnollisen logaritmin kanta, matemaattinen vakio, irrationaalinen ja transsendentaalinen luku. Joskus lukua e kutsutaan Euler- tai Napier-luvuksi. Merkitään pienellä latinalaiskirjaimella "e".
Koska eksponentiaalinen funktio e^x on integroitu ja eriytetty "itseensä", logaritmit, jotka perustuvat kantaan e, hyväksytään luonnollisiksi (vaikka jo "luonnollisuuden" nimikin on kyseenalainen, koska kaikki matematiikka perustuu olennaisesti keinotekoisesti keksittyyn ne, jotka ovat eronneet luonnosta fiktiivisistä periaatteista, eivätkä ollenkaan luonnollisista).
Tätä numeroa kutsutaan joskus Nepieriksi skotlantilaisen tiedemiehen Napierin kunniaksi, joka on kirjoittanut teoksen "The Amazing Table of Logathms" (1614). Tämä nimi ei kuitenkaan ole täysin oikea, koska Napier ei käyttänyt itse numeroa suoraan.
Vakio esiintyy ensin hiljaisesti Napierin edellä mainitun vuonna 1618 julkaistun teoksen englanninkielisen käännöksen liitteessä. Kulissien takana, koska se sisältää vain KINEMATISISTA näkökulmasta määritettyjen luonnollisten logaritmien taulukon, mutta itse vakio ei ole läsnä.
Itse vakion laski ensin sveitsiläinen matemaatikko Bernoulli (virallisen version mukaan vuonna 1690) ratkaistessaan korkotulon raja-arvon ongelman. Hän havaitsi, että jos alkuperäinen summa oli 1 dollari (valuutta on täysin merkityksetön) ja lisättynä 100 % vuodessa kerran vuoden lopussa, lopullinen summa olisi 2 dollaria. Mutta jos sama korko korotetaan kahdesti vuodessa, 1 dollari kerrotaan 1,5:llä kahdesti, jolloin tuloksena on 1,00 dollaria x 1,5² = 2,25 dollaria. Neljännesvuosittain laskettu korkotulos on $1,00 x 1,254 = $2,44140625 ja niin edelleen. Bernoulli osoitti, että jos korkolaskennan tiheys LISÄÄ TÄRMÄTÖN, niin korkotulolla korkokoron tapauksessa on raja - ja tämä raja on 2,71828...
1,00 $×(1+1/12)12 = 2,613035 $…
1,00 $×(1+1/365)365 = 2,714568 $… - rajassa numero e
Luku e tarkoittaa siis historiallisesti suurinta mahdollista VUOSITUOTTOA 100 % vuodessa ja korkopääoman enimmäistiheyttä. Ja mitä tekemistä maailmankaikkeuden laeilla on sen kanssa? Luku e on yksi tärkeimmistä rakennuspalikoista lainakoron rahatalouden perustassa kuluttajayhteiskunnassa, jonka alla alusta alkaen, jopa mentaalifilosofisella tasolla, kaikkea nykyään käytettävää matematiikkaa säädeltiin ja terävöitettiin useita vuosisatoja. sitten.
Tämän vakion ensimmäinen tunnettu käyttö, jossa se merkittiin kirjaimella b, esiintyy Leibnizin kirjeissä Huygensille, 1690-1691.
Euler alkoi käyttää kirjainta e vuonna 1727, se esiintyy ensimmäisen kerran Eulerin kirjeessä saksalaiselle matemaatikolle Goldbachille, päivätty 25. marraskuuta 1731, ja ensimmäinen julkaisu tällä kirjeellä oli hänen työnsä "Mechanics, or the Science of Motion, Explained Analytically "1736. Vastaavasti e:tä kutsutaan yleensä Euler-luvuksi. Vaikka jotkut tutkijat käyttivät myöhemmin kirjainta c, kirjainta e käytettiin useammin ja se on nykyään vakionimitys.
Ei tiedetä tarkasti, miksi e-kirjain valittiin. Ehkä tämä johtuu siitä, että sana eksponentiaalinen ("indikatiivinen", "eksponentiaalinen") alkaa sillä. Toinen ehdotus on, että kirjaimet a, b, c ja d olivat jo melko yleisessä käytössä muihin tarkoituksiin, ja e oli ensimmäinen "ilmainen" kirjain. On myös huomionarvoista, että e-kirjain on sukunimen Euler ensimmäinen kirjain.
Mutta joka tapauksessa on yksinkertaisesti järjetöntä sanoa, että luku e liittyy jotenkin maailmankaikkeuden ja luonnon yleisiin lakeihin. Tämä luku itse käsitteensä perusteella oli alun perin sidottu luotto- ja rahoitusvaluuttajärjestelmään, ja erityisesti tämän luvun kautta (mutta ei vain) luotto- ja rahoitusjärjestelmän ideologia vaikutti epäsuorasti kaiken muun matematiikan muodostumiseen ja kehitykseen. sen kautta kaikki muut tieteet (tiedehän poikkeuksetta laskee jotain matematiikan sääntöjä ja lähestymistapoja käyttäen). Luku e on tärkeässä roolissa differentiaali- ja integraalilaskennassa, joka sen kautta itse asiassa liittyy myös korkotulon maksimoimisen ideologiaan ja filosofiaan (voidaan jopa sanoa, että se liittyy alitajuisesti). Miten luonnollinen logaritmi liittyy? E:n asettaminen vakioksi (kaiken muun ohella) johti ajattelun implisiittisten yhteyksien muodostumiseen, joiden mukaan kaikkea olemassa olevaa matematiikkaa ei yksinkertaisesti voi olla olemassa rahajärjestelmästä erillään! Ja tässä valossa ei ole ollenkaan yllättävää, että muinaiset slaavit (eikä vain he) selviytyivät täydellisesti ilman vakioita, irrationaalisia ja transsendenttisia lukuja ja jopa ilman numeroita ja numeroita yleensä (kirjaimet toimivat numeroina muinaisina aikoina), erilainen logiikka, erilainen ajattelu järjestelmässä rahan puuttuessa (ja siksi kaikki siihen liittyvä) tekee kaikesta yllä olevasta yksinkertaisesti tarpeettoman.
MÄÄRITELMÄ
Määrä on irrationaalinen ja transsendenttinen matemaattinen vakio, ns Eulerin numero tai Napier numero, joka on luonnollisen logaritmin kanta.
Jatkuvasti kulissien takana on läsnä skotlantilaisen matemaatikon John Napierin (1550-1617) teoksessa "Description of the Amazing Table of Logathms" (tarkemmin sanottuna tämän teoksen käännöksen liitteessä, joka julkaistiin vuonna 1618). Ensimmäinen maininta tästä vakiosta on saksilaisen filosofin, loogikon, matemaatikon, mekaanikon, fyysikon, lakimiehen, historioitsijan, diplomaatin, keksijän ja kielitieteilijän Gottfried Wilhelm Leibnizin (1646-1716) kirjeissä hollantilaiselle mekaanikolle, fyysikolle, matemaatikolle, ja keksijä Christian Huyngens van Zuilichem (1629-1695) vuosina 1690-1691. Siellä se oli merkitty kirjeellä. Perinteinen nimitys vuonna 1727 sveitsiläinen, saksalainen, venäläinen matemaatikko ja mekaanikko Leonhard Euler (1707-1783) alkoi käyttää sitä; hän käytti sitä ensimmäisen kerran kirjeessään saksalaiselle matemaatikolle Christian Goldbachille (1690-1764) vuonna 1731. Ensimmäinen julkaisu tällä kirjeellä oli L. Eulerin teos "Mechanics, or the Science of Motion, Explained Analytically" (1736). Itse vakion laski ensin sveitsiläinen matemaatikko Jacob Bernoulli (1655-1705) ratkaiseessaan korkotulon raja-arvon ongelman:
Numerolla on tärkeä rooli matematiikan eri aloilla ja erityisesti differentiaali- ja integraalilaskennassa. Ranskalainen matemaatikko Charles Hermite (1822-1901) todisti Eulerin luvun ylittävyyden vasta vuonna 1873.
Tehtävät numero e
1) Rajan yli:
(listattu tarkkuuden kasvaessa)
Määritysmenetelmät
Määrä e voidaan määritellä monella tapaa.
- Yli rajan: e = lim x → ∞ (1 + 1 x) x (\displaystyle e=\lim _(x\to \infty )\left(1+(\frac (1)(x))\right)^(x) )(toinen merkittävä raja). e = lim n → ∞ n n !}}} !} n (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n
- (tämä seuraa Moivre-Stirlingin kaavasta). Sarjan summana:}} !} e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! (\displaystyle e=\sum _(n=0)^(\infty )(\frac (1)(n}} !}.
- tai 1 e = ∑ n = 2 ∞ (− 1) n n !(\displaystyle (\frac (1)(e))=\sum _(n=2)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n Yksittäisenä
- a (\displaystyle a) 1 e = ∑ n = 2 ∞ (− 1) n n !, jota varten ∫ 1 a d x x = 1. (\displaystyle \int \limits _(1)^(a)(\frac (dx)(x))=1.)
Ainoana positiivisena numerona
| , jolle se on totta |
|---|
| d d x a x = a x . (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Ominaisuudet Todiste irrationaalisuudesta Oletetaan, että e (\displaystyle e) järkevää. Sitten e = p / q (\displaystyle e=p/q), Missä p (\displaystyle p) - kokonaisena jaq (\displaystyle q) -luonnollinen. !} Siten p = e q (\displaystyle p=eq)=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}} !}Kerrotaan yhtälön molemmat puolet (q − 1) !} !}(\displaystyle (q-1) , saamme=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}} !}Kaikki oikean puolen termit ovat kokonaislukuja, joten vasemman puolen summa on kokonaisluku. Mutta tämä summa on myös positiivinen, mikä tarkoittaa, että se ei ole pienempi kuin 1. toisella puolella, ∑ n = q + 1 ∞ q !< ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) m {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}}n! = ∑ m = 1 ∞ q !< 1 q {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}}(q + m) ! = ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) ., = ∑ m = 1 ∞ q !< 1 {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1}. |
- Määrä (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).). (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)(q + m)
- Yhteenvetona oikeanpuoleisesta geometrisestä etenemisestä saadaan: (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)∑ n = q + 1 ∞ q !
- Määrä e n!
- Koska q ≥ 1 (\displaystyle q\geq 1)
- Saamme ristiriidan. (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) transsendenttisesti. Charles Hermite todisti tämän ensimmäisen kerran vuonna 1873. Numeron ylittäminen seuraa Lindemannin lauseesta. Oletetaan, että - normaaliluku, eli eri numeroiden esiintymistiheys sen merkinnöissä on sama. Tällä hetkellä (2017) tätä hypoteesia ei ole todistettu.
- on laskettava (ja siten aritmeettinen) luku. e i x = cos (x) + i ⋅ sin (x) (\displaystyle e^(ix)=\cos(x)+i\cdot \sin(x)), katso erityisesti Eulerin kaava Numeroita yhdistävä kaava}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.} !}
- Määrä e Ja π (\displaystyle \pi ), ns Poisson-integraali tai Gauss-integraali ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π (\displaystyle \int \limits _(-\infty )^(\infty )\ e^(-x^(2))(dx)=(\sqrt (\pi) )))
- Mille tahansa kompleksiluvulle z
- seuraavat yhtäläisyydet ovat totta: e z = ∑ n = 0 ∞ 1 n !
- e = lim n → ∞ n n !}}.} !}
- n. (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n
- Katalonian esitys: e = 2 ⋅ 4 3 ⋅ 6 ⋅ 8 5 ⋅ 7 4 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 16 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 8 ⋅ 220 ⋅⋅⋅⋅ 220 ⋅ 28 ⋅ 30 ⋅ 32 17 ⋅ 19 ⋅ 21 ⋅ 23 ⋅ 25 ⋅ 27 ⋅ 29 ⋅ 31 16 ⋯ (\displaystyle e=2\cdot (\sqrt (\frac (4)(3)))\cdot (\sqrt[(4)](\frac (6) \cdot 8)(5\cdot 7)))\cdot (\sqrt[(8)](\frac (10\cdot 12\cdot 14\cdot 16)(9\cdot 11\cdot 13\cdot 15)) )\cdot (\sqrt[(16)](\frac (18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32)(17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\ cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31)))\cdots )
- Edustus työn kautta:
e = 3 ⋅ ∏ k = 1 ∞ (2 k + 3) k + 1 2 (2 k − 1) k − 1 2 (2 k + 1) 2 k (\displaystyle e=(\sqrt (3))\ cdot \prod \limits _(k=1)^(\infty )(\frac (\left(2k+3\right)^(k+(\frac (1)(2)))\left(2k-1\ oikea)^(k-(\frac (1)(2))))(\vasen(2k+1\oikea)^(2k))))}} !}
Bell-numeroiden kautta
E = 1 B n ∑ k = 0 ∞ k n k ! (\displaystyle e=(\frac (1)(B_(n)))\sum _(k=0)^(\infty )(\frac (k^(n))(k Tarina Tätä numeroa kutsutaan joskus höyhenetön skotlantilaisen tiedemiehen Napierin kunniaksi, teoksen “Description of the Amazing Table of Logathms” (1614) kirjoittaja. Tämä nimi ei kuitenkaan ole täysin oikea, koska sillä on luvun logaritmi.
x (\displaystyle x)
oli tasa-arvoinen 10 7 ⋅ log 1 / e (x 10 7) (\displaystyle 10^(7)\cdot \,\log _(1/e)\left((\frac (x)(10^(7))) \oikea)) Vakio esiintyy ensin hiljaisesti Napierin edellä mainitun vuonna 1618 julkaistun teoksen englanninkielisen käännöksen liitteessä. Kulissien takana, koska se sisältää vain taulukon kinemaattisista syistä määritettyjä luonnollisia logaritmeja, mutta itse vakio ei ole läsnä. Itse vakion laski ensin sveitsiläinen matemaatikko Jacob Bernoulli ratkaistessaan korkotulon raja-arvon ongelman. Hän huomasi, että jos alkuperäinen määrä$ 1 (\displaystyle \$1) 10 7 ⋅ log 1 / e (x 10 7) (\displaystyle 10^(7)\cdot \,\log _(1/e)\left((\frac (x)(10^(7))) \oikea)) ja se lasketaan vuosittain kerran vuoden lopussa, silloin kokonaissumma on 2 dollaria (\displaystyle \$2). Mutta jos sama korko lasketaan kahdesti vuodessa, niin kerrottuna 1 , 5 (\displaystyle 1(,)5) kahdesti, saa, ja niin edelleen. Bernoulli osoitti, että jos koronlaskennan tiheyttä lisätään loputtomasti, niin korkotulolla korkokoron tapauksessa on raja: lim n → ∞ (1 + 1 n) n .(\displaystyle \lim _(n\to \infty )\left(1+(\frac (1)(n))\right)^(n).) ja tämä raja on yhtä suuri kuin luku.
e (≈ 2,718 28) (\displaystyle e~(\noin 2(,)71828))
1,00 $ ⋅ (1 + 1 12) 12 = 2 613 035 $... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(12))\right)^( 12) =\$2(,)613035...)
1 00 $ ⋅ (1 + 1 365) 365 = 2 714 568 $... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(365))\right)^( 365) =\$2(,)714568...) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Vakio siis tarkoittaa suurinta mahdollista vuotuista voittoa 100 % (\displaystyle 100\%)
vuosittain ja koron pääoman enimmäistiheys. Ensimmäinen tunnettu tämän vakion käyttö, jossa se merkittiin kirjaimella b (\displaystyle b)
, löytyy Leibnizin kirjeistä Huygensille, -1691. (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Kirje (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Euler aloitti sen käytön vuonna 1727, se löytyy ensimmäisen kerran Eulerin kirjeestä saksalaiselle matemaatikolle Goldbachille 25. marraskuuta 1731, ja ensimmäinen julkaisu tällä kirjeellä oli hänen teoksensa "Mechanics, or the Science of Motion, Explained Analytically". 1736. Vastaavasti, Eulerin numero yleensä kutsutaan . Vaikka jotkut tutkijat käyttivät myöhemmin kirjainta c (\displaystyle c) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).), kirje
käytettiin useammin ja on nyt vakionimitys. Jokainen toiminto E testaa määritetyn arvon ja palauttaa tuloksen mukaan TRUE tai FALSE. Esimerkiksi funktio TYHJÄ
palauttaa loogisen arvon TOSI, jos testattava arvo on viittaus tyhjään soluun; muussa tapauksessa looginen arvo FALSE palautetaan. Jokainen toiminto Toiminnot käytetään tiedon saamiseksi arvosta ennen laskutoimituksen tai muun toimenpiteen suorittamista arvosta. Voit esimerkiksi käyttää erilaista toimintoa virheen sattuessa VIRHE yhdessä toiminnon kanssa:
= JOS JOS(
VIRHE(A1); "Tapahtui virhe."; A1*2) yhdessä toiminnon kanssa Tämä kaava tarkistaa, onko solussa A1 virhe. Kun tapahtuu virhe, toiminto yhdessä toiminnon kanssa palauttaa viestin "Tapahtui virhe." Jos virheitä ei ole, toiminto
laskee tulon A1*2.
Syntaksi
TYHJÄ(arvo)
EOS (arvo)
VIRHE(arvo)
ELOGIC(arvo)
UNM(arvo)
VERKKOTEKSTI(arvo)
ETEKSTI(arvo) Jokainen toiminto funktion argumentti
kuvataan alla. Vaadittu argumentti. Arvo tarkistetaan. Tämän argumentin arvo voi olla tyhjä solu, virhearvo, Boolen arvo, teksti, numero, viittaus mihin tahansa luetelluista objekteista tai tällaisen objektin nimi.
Toiminto | Palauttaa TRUE, jos |
|---|---|
|
Arvoargumentti viittaa tyhjään soluun |
|
|
Arvoargumentti viittaa mihin tahansa muuhun virhearvoon kuin #N/A |
|
|
Arvoargumentti viittaa mihin tahansa virhearvoon (#N/A, #ARVO!, #REF!, #DIV/0!, #NUM!, #NAME? tai #EMPTY!) |
|
|
Arvo-argumentti viittaa loogiseen arvoon |
|
|
Arvo-argumentti viittaa #N/A-virhearvoon (arvo ei ole käytettävissä) |
|
|
ENETEXT |
Arvoargumentti viittaa mihin tahansa elementtiin, joka ei ole tekstiä. (Huomaa, että funktio palauttaa TRUE, jos argumentti viittaa tyhjään soluun.) |
|
Arvoargumentti viittaa numeroon |
|
|
Arvoargumentti viittaa tekstiin |
Huomautuksia
Argumentit funktioissa Jokainen toiminto ei muunneta. Kaikki lainausmerkeissä olevat numerot käsitellään tekstinä. Esimerkiksi useimmissa muissa numeerista argumenttia vaativissa funktioissa tekstiarvo "19" muunnetaan luvuksi 19. Kaavassa kuitenkin ISNUMBER("19") tätä arvoa ei muunneta tekstistä numeroksi ja funktio ISNUMBER palauttaa FALSE.
Toimintojen käyttö Jokainen toiminto Laskelmien tulokset on kätevää tarkistaa kaavoista. Näiden ominaisuuksien yhdistäminen toimintoon yhdessä toiminnon kanssa, voit löytää virheitä kaavoista (katso esimerkkejä alla).
Esimerkkejä
Esimerkki 1
Kopioi esimerkkitiedot seuraavasta taulukosta ja liitä ne uuden Excel-laskentataulukon soluun A1. Jos haluat näyttää kaavojen tulokset, valitse ne, paina F2 ja paina sitten Enter. Muuta tarvittaessa sarakkeiden leveyttä nähdäksesi kaikki tiedot.
Kopioi esimerkkitiedot alla olevasta taulukosta ja liitä ne uuden Excel-laskentataulukon soluun A1. Jos haluat näyttää kaavojen tulokset, valitse ne, paina F2 ja paina sitten Enter. Muuta tarvittaessa sarakkeiden leveyttä nähdäksesi kaikki tiedot.
Data |
||
|---|---|---|
|
Kaava |
Kuvaus |
Tulos |
|
TYHJÄ(A2) |
Tarkistaa, onko solu C2 tyhjä |
|
|
VIRHE (A4) |
Tarkistaa, onko solun A4 arvo (#REF!) virhearvo |
|
|
Tarkistaa, onko solun A4 arvo (#REF!) virhearvo #N/A |
||
|
Tarkistaa, onko solun A6 arvo (#N/A) virhearvo #N/A |
||
|
Tarkistaa, onko solun A6 arvo (#N/A) virhearvo |
||
|
ISNUMBER(A5) |
Testaa, onko solun A5 arvo (330.92) numero |
|
|
TEKSTI(A3) |
Tarkistaa, onko solun A3 ("Alue1") arvo tekstiä |
Eksponentti on merkitty , tai .
Numero e
Eksponenttiasteen perusta on numero e. Tämä on irrationaalinen luku. Se on suunnilleen yhtä suuri
e ≈ 2,718281828459045...
Luku e määritetään sekvenssin rajan kautta. Tämä on ns toinen ihana raja:
.
Luku e voidaan esittää myös sarjana:
.
Eksponentiaalinen kaavio
Eksponentiaalinen kuvaaja, y = e x .Kaavio näyttää eksponentiaalin e jossain määrin X.
y (x) = e x
Kaavio osoittaa, että eksponentti kasvaa monotonisesti.
Kaavat
Peruskaavat ovat samat kuin eksponentiaalisella funktiolla, jonka kanta on e.
;
;
;
Eksponentiaalisen funktion ilmaisu mielivaltaisella asteella a eksponentiaalin kautta:
.
Yksityiset arvot
Anna y (x) = e x.
.
Sitten
Eksponentin ominaisuudet e > 1 .
Eksponentilla on potenssipohjaisen eksponentiaalifunktion ominaisuudet
Domain, arvojoukko (x) = e x Eksponentti y
määritelty kaikille x:lle.
- ∞ < x + ∞
.
Sen määritelmäalue:
0
< y < + ∞
.
Sen monet merkitykset:
Äärimmäisyydet, lisääntyvät, vähenevät
Eksponentiaali on monotonisesti kasvava funktio, joten sillä ei ole ääriarvoja. Sen tärkeimmät ominaisuudet on esitetty taulukossa.
Käänteinen funktio
;
.
Eksponentin käänteisarvo on luonnollinen logaritmi.
Eksponentin johdannainen e jossain määrin X Johdannainen e jossain määrin X
:
.
yhtä suuri kuin
.
N:nnen kertaluvun johdannainen:
Johtamiskaavat >>>
Integraali
Monimutkaiset luvut Operaatiot kompleksiluvuilla suoritetaan käyttämällä:
,
Eulerin kaavat
.
missä on kuvitteellinen yksikkö:
;
;
.
Lausekkeet hyperbolisten funktioiden kautta
;
;
;
.
Lausekkeet trigonometristen funktioiden avulla
Power-sarjan laajennus
Käytetty kirjallisuus:
