Bár ez az összefüggés első pillantásra teljesen nyilvánvalónak tűnik (úgy tűnik, a tudományos matematika egy dolog, a közgazdaságtan és a pénzügy pedig egészen más), de ha egyszer áttanulmányozzuk e szám „felfedezésének” történetét, minden nyilvánvalóvá válik. Valójában függetlenül attól, hogy a tudományokat hogyan osztják fel különböző, látszólag független ágakra, az általános paradigma továbbra is ugyanaz lesz (különösen a fogyasztói társadalom számára - a „fogyasztói” matematika).

Kezdjük egy meghatározással. e a természetes logaritmus alapja, egy matematikai állandó, egy irracionális és transzcendentális szám. Néha az e számot Euler-számnak vagy Napier-számnak nevezik. Kis latin „e” betűvel jelölve.

Mivel az e^x exponenciális függvény „önmagába” integrálódik és differenciálódik, az e bázison alapuló logaritmusokat természetesnek fogadjuk el (bár a „természetesség” elnevezése erősen kétséges, mert minden matematika lényegében mesterségesen kitalált alapú. a természettől elválasztott fiktív elvek, és egyáltalán nem a természetes elveken alapulnak).

Ezt a számot néha Nepier-nek nevezik Napier skót tudós tiszteletére, a „Description of the Amazing Table of Logathms” (1614) című mű szerzője. Ez a név azonban nem teljesen helyes, mivel a Napier nem közvetlenül magát a számot használta.

A konstans először hallgatólagosan Napier fent említett, 1618-ban megjelent művének angol fordításának mellékletében jelenik meg. A színfalak mögött, mert csak egy KINEMATIKAI megfontolások alapján meghatározott természetes logaritmus táblázatot tartalmaz, de maga az állandó nincs jelen.

Magát az állandót először Bernoulli svájci matematikus számította ki (a hivatalos verzió szerint 1690-ben), miközben megoldotta a KAMATJÖVEDELEM határértékének problémáját. Megállapította, hogy ha az eredeti összeg 1 dollár volt (a pénznem teljesen lényegtelen), és az év végén egyszer 100%-kal hozzáadják, akkor a végső összeg 2 dollár lenne. De ha ugyanazt a kamatot évente kétszer összevonják, akkor 1 dollárt kétszer megszoroznak 1,5-tel, ami 1,00 dollár x 1,5² = 2,25 dollár lesz. Az összetett kamat negyedéves eredménye: 1,00 USD x 1,254 = 2,44140625 USD, és így tovább. Bernoulli kimutatta, hogy ha a kamatszámítás gyakorisága VÉGTELENESEN NÖVEKEDIK, akkor kamatos kamat esetén a kamatbevételnek van határa - és ez a határ 2,71828...

1,00 USD×(1+1/12)12 = 2,613035 USD…

1,00 USD×(1+1/365)365 = 2,714568 USD… - a korlátban az e szám

Így az e szám valójában történetileg a maximálisan lehetséges éves 100%-os ÉVES EREDMÉNYT és a kamattőkésítés maximális gyakoriságát jelenti. És mi köze ehhez az Univerzum törvényeinek? Az e szám az egyik fontos építőköve a fogyasztói társadalom hitelkamatozású monetáris gazdaságának megalapozásának, amely alatt a kezdetektől fogva, még mentális filozófiai szinten is évszázadokon át igazították és kiélezték az összes ma használt matematikát. ezelőtt.

Ennek az állandónak az első ismert használata, ahol b betűvel jelölték, Leibniz Huygensnek írt leveleiben található, 1690-1691.

Euler 1727-ben kezdte használni az e betűt, először Euler 1731. november 25-én kelt levelében jelenik meg Goldbach német matematikusnak, és az első publikáció ezzel a levéllel a „Mechanics, or the Science of Motion, Explained Analytically” című munkája volt. ", 1736. Ennek megfelelően az e-t általában Euler-számnak nevezik. Bár néhány tudós később a c betűt használta, az e betűt gyakrabban használták, és ma ez a szokásos megnevezés.

Nem tudni pontosan, miért az e betűt választották. Talán ennek az az oka, hogy az exponenciális ("indikatív", "exponenciális") szó ezzel kezdődik. Egy másik javaslat szerint az a, b, c és d betűket már meglehetősen általánosan használták más célokra, és az e volt az első "szabad" betű. Figyelemre méltó az is, hogy az e betű az Euler vezetéknév első betűje.

De mindenesetre azt állítani, hogy az e szám valamilyen módon kapcsolódik az Univerzum és a természet egyetemes törvényeihez, egyszerűen abszurd. Ez a szám a fogalom által kezdetben a hitel- és pénzügyi monetáris rendszerhez kötődött, és különösen ezen a számon keresztül (de nem csak) a hitel- és pénzügyi rendszer ideológiája közvetetten befolyásolta az összes többi matematika kialakulását, fejlődését, és ezen keresztül. minden más tudomány (végül is kivétel nélkül a tudomány a matematika szabályai és megközelítései alapján számol valamit). Az e szám fontos szerepet játszik a differenciál- és integrálszámításban, amely ezen keresztül tulajdonképpen a kamatbevétel maximalizálásának ideológiájához és filozófiájához is kapcsolódik (mondhatnánk akár tudat alatt is). Hogyan kapcsolódik a természetes logaritmus? Az e konstansként való megállapítása (minden mással együtt) olyan implicit összefüggések kialakulásához vezetett a gondolkodásban, amelyek szerint az összes létező matematika egyszerűen nem létezhet a pénzrendszertől elszigetelten! És ennek fényében egyáltalán nem meglepő, hogy az ókori szlávok (és nem csak ők) tökéletesen megbirkóztak konstansok, irracionális és transzcendentális számok nélkül, sőt általában számok és számok nélkül is (a betűk az ókorban számként működtek), az eltérő logika, a rendszerben való eltérő gondolkodás pénz hiányában (és így minden, ami ezzel kapcsolatos) mindezt egyszerűen szükségtelenné teszi.

MEGHATÁROZÁS

Számún. irracionális és transzcendentális matematikai állandó Euler szám vagy Napier szám, amely a természetes logaritmus alapja.

Állandóan a színfalak mögött jelen van John Napier (1550-1617) skót matematikus „Description of the Amazing Table of Logathms” című munkájában (pontosabban e mű fordításának mellékletében, amely 1618-ban jelent meg). Ennek az állandónak az első említése Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) szász filozófus, logikus, matematikus, mechanikus, fizikus, jogász, történész, diplomata, feltaláló és nyelvész leveleiben található a holland szerelőhöz, fizikushoz, matematikushoz, és Christian Huyngens van Zuilichem (1629-1695) feltaláló 1690-91-ben. Ott a levél jelölte meg. Hagyományos megnevezés 1727-ben Leonhard Euler (1707-1783) svájci, német, orosz matematikus és szerelő kezdte használni; először a német matematikusnak, Christian Goldbachnak (1690-1764) írt levelében használta fel 1731-ben. Az első publikáció ezzel a levéllel L. Euler „Mechanics, or the Science of Motion, Explained Analytically” (1736) című munkája volt. Magát a konstanst először Jacob Bernoulli (1655-1705) svájci matematikus számította ki, miközben megoldotta a kamatjövedelem határértékének problémáját:

A számok fontos szerepet töltenek be a matematika különböző ágaiban, és különösen a differenciál- és integrálszámításban. Az Euler-szám transzcendenciáját Charles Hermite (1822-1901) francia matematikus csak 1873-ban bizonyította.

e számú feladatok

1) A limiten keresztül:

2,7182818284590452353602874713527… Hexadecimális 2,B7E151628AED2A6A… hatvanas 2; 43 05 48 52 29 48 35 … Racionális közelítések 8 / 3 ; 11 / 4 ; 19 / 7 ; 87 / 32 ; 106 / 39 ; 193 / 71 ; 1264 / 465 ; 2721 / 1001 ; 23225 / 8544

(a pontosság növelésének sorrendjében)

Folytatólagos tört

Meghatározási módszerek

Szám e többféleképpen definiálható.

• Határon túl: e = lim x → ∞ (1 + 1 x) x (\displaystyle e=\lim _(x\to \infty )\left(1+(\frac (1)(x))\right)^(x) )(második figyelemre méltó határ). e = lim n → ∞ n n !}}} !} n (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n
• (ez a Moivre-Stirling képletből következik). A sorozat összegeként:}} !} e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! (\displaystyle e=\sum _(n=0)^(\infty )(\frac (1)(n}} !}.
• vagy 1 e = ∑ n = 2 ∞ (− 1) n n !(\displaystyle (\frac (1)(e))=\sum _(n=2)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n Egyedülállóként
• a (\displaystyle a) 1 e = ∑ n = 2 ∞ (− 1) n n !, amihez ∫ 1 a d x x = 1. (\displaystyle \int \limits _(1)^(a)(\frac (dx)(x))=1.)

Mint az egyetlen pozitív szám

, amelyre igaz

d d x a x = a x . (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Tulajdonságok Az irracionalitás bizonyítéka Tegyük fel, hogy e (\displaystyle e) racionális. Majd e = p / q (\displaystyle e=p/q), Hol p (\displaystyle p) - egész, és q (\displaystyle q) - természetes. !} Ezért p = e q (\displaystyle p=eq)=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}} !} Az egyenlet mindkét oldalát megszorozva ezzel (q − 1) !} !}(\displaystyle (q-1) , megkapjuk=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}} !} A jobb oldalon lévő összes tag egész szám, ezért a bal oldalon lévő összeg egész szám. De ez az összeg is pozitív, ami azt jelenti, hogy nem kevesebb 1-nél. A másik oldalon ∑ n = q + 1 ∞ q !< ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) m {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}} n! = ∑ m = 1 ∞ q !< 1 q {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}} (q + m) ! = ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) ., = ∑ m = 1 ∞ q !< 1 {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1} .

• Szám (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).). (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)(q + m)
• A jobb oldali geometriai progressziót összegezve a következőket kapjuk: (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)∑ n = q + 1 ∞ q !
• Szám e n!
• Mert q ≥ 1 (\displaystyle q\geq 1)
• Ellentmondást kapunk. (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) transzcendentális. Ezt először Charles Hermite bizonyította 1873-ban. A szám transzcendenciája Lindemann tételéből következik. Feltételezhető, hogy - normál szám, vagyis a különböző számjegyek megjelenési gyakorisága a jelölésében azonos. Jelenleg (2017) ez a hipotézis nem bizonyított.
• egy kiszámítható (és ezért aritmetikai) szám. e i x = cos ⁡ (x) + i ⋅ sin ⁡ (x) (\displaystyle e^(ix)=\cos(x)+i\cdot \sin(x)), lásd különösen az Euler-képletet Számokat összekötő képlet}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.} !}
• Szám eÉs π (\displaystyle \pi ), ún Poisson integrál vagy Gauss integrál ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π (\displaystyle \int \limits _(-\infty )^(\infty )\ e^(-x^(2))(dx)=(\sqrt (\pi) )))
• Bármilyen komplex számra z
• a következő egyenlőségek igazak: e z = ∑ n = 0 ∞ 1 n !
• e = lim n → ∞ n n !}}.} !}
• n. (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n
• A katalán nyelv képviselete: e = 2 ⋅ 4 3 ⋅ 6 ⋅ 8 5 ⋅ 7 4 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 16 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 8 ⋅ ⋅⋅⋅ 1222 20 ⋅ 28 ⋅ 30 ⋅ 32 17 ⋅ 19 ⋅ 21 ⋅ 23 ⋅ 25 ⋅ 27 ⋅ 29 ⋅ 31 16 ⋯ (\displaystyle e=2\cdot (\sqrt (\frac (4)(3)))\cdot (\sqrt[(4)](\frac (6) \cdot 8)(5\cdot 7)))\cdot (\sqrt[(8)](\frac (10\cdot 12\cdot 14\cdot 16)(9\cdot 11\cdot 13\cdot 15)) )\cdot (\sqrt[(16)](\frac (18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32)(17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\ cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31)))\cdots )
• Képviselet a munkán keresztül:

e = 3 ⋅ ∏ k = 1 ∞ (2 k + 3) k + 1 2 (2 k - 1) k - 1 2 (2 k + 1) 2 k (\displaystyle e=(\sqrt (3))\ cdot \prod \limits _(k=1)^(\infty )(\frac (\left(2k+3\right)^(k+(\frac (1)(2)))\left(2k-1\ jobb)^(k-(\frac (1)(2))))(\left(2k+1\right)^(2k))))}} !}

A Bell számokon keresztül

E = 1 B n ∑ k = 0 ∞ k n k ! (\displaystyle e=(\frac (1)(B_(n)))\sum _(k=0)^(\infty )(\frac (k^(n))(k Történet Ezt a számot néha hívják nem tollas Napier skót tudós tiszteletére, a „Description of the Amazing Table of Logathms” (1614) című mű szerzője. Ez a név azonban nem teljesen helyes, mivel rendelkezik a szám logaritmusával.

x (\displaystyle x)

egyenlő volt 10 7 ⋅ log 1 / e ⁡ (x 10 7) (\displaystyle 10^(7)\cdot \,\log _(1/e)\left((\frac (x)(10^(7))) \jobbra)) A konstans először hallgatólagosan Napier fent említett, 1618-ban megjelent művének angol fordításának mellékletében jelenik meg. A színfalak mögött, mert csak a kinematikai megfontolások alapján meghatározott természetes logaritmusok táblázatát tartalmazza, de maga az állandó nincs jelen. Magát a konstanst először Jacob Bernoulli svájci matematikus számította ki, miközben megoldotta a kamatjövedelem határértékének problémáját. Felfedezte, hogy ha az eredeti összeget 1 USD (\displaystyle \$1) 10 7 ⋅ log 1 / e ⁡ (x 10 7) (\displaystyle 10^(7)\cdot \,\log _(1/e)\left((\frac (x)(10^(7))) \jobbra))és évente egyszer, év végén kerül kiszámításra, akkor a teljes összeg lesz 2 USD (\displaystyle \$2). De ha ugyanazt a kamatot évente kétszer számolják, akkor szorozva 1 , 5 (\displaystyle 1(,)5) kétszer, egyreés így tovább. Bernoulli kimutatta, hogy ha a kamatszámítás gyakoriságát korlátlanul növeljük, akkor kamatos kamat esetén a kamatbevételnek van határa: lim n → ∞ (1 + 1 n) n .(\displaystyle \lim _(n\to \infty )\left(1+(\frac (1)(n))\right)^(n).) és ez a határ egyenlő a számmal.

e (≈ 2,718 28) (\displaystyle e~(\approx 2(,)71828))

1 00 USD ⋅ (1 + 1 12) 12 = 2 613 035 USD... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(12))\right)^( 12 )=\$2(,)613035...)

1 00 USD ⋅ (1 + 1 365) 365 = 2 714 568 USD... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(365))\right)^( 365) =\$2(,)714568...) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Tehát az állandó a maximálisan elérhető éves nyereséget jelenti 100% (\displaystyle 100\%)

évi és a kamattőkésítés maximális gyakorisága. Ennek az állandónak az első ismert használata, ahol betűvel jelölték b (\displaystyle b)

Leibniz Huygensnek írt leveleiben található, -1691. (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Levél (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Euler 1727-ben kezdte használni, először Euler 1731. november 25-i, Goldbach német matematikusnak írt levelében található, és az első publikáció ezzel a levéllel a „Mechanika, avagy a mozgás tudománya, analitikusan magyarázva” című munkája volt. 1736. Illetőleg, Euler számáltalában hívják . Bár néhány tudós később felhasználta a levelet c (\displaystyle c) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).), levél

gyakrabban használták, és mára ez a szabványos megnevezés. Az egyes funkciók E teszteli a megadott értéket, és az eredménytől függően IGAZ vagy HAMIS értéket ad vissza. Például a függvényÜRES

a TRUE logikai értéket adja vissza, ha a tesztelt érték egy üres cellára való hivatkozás; ellenkező esetben a FALSE logikai értéket adja vissza. Az egyes funkciók Funkciók arra szolgálnak, hogy információt szerezzenek egy értékről, mielőtt számítást vagy más műveletet hajtanának végre rajta. Ha például hiba esetén más műveletet szeretne végrehajtani, használhatja a funkciót HIBA funkcióval kombinálva:

= HA HA(

HIBA(A1); "Hiba történt."; A1*2) funkcióval kombinálva Ez a képlet az A1 cellában keres hibát. Hiba esetén a függvény funkcióval kombinálva a "Hiba történt" üzenetet adja vissza. Ha nincs hiba, a függvény

kiszámítja az A1*2 szorzatot.

Szintaxis

ÜRES(érték)

EOS (érték)

HIBA(érték)

ELOGIC(érték)

UNM(érték)

NETSZÖVEG(érték)

ESZÖVEG(érték) Az egyes funkciók függvény argumentum

alább ismertetjük. Kötelező érv. Az ellenőrzött érték. Ennek az argumentumnak az értéke lehet egy üres cella, egy hibaérték, egy logikai érték, egy szöveg, egy szám, egy hivatkozás a felsorolt ​​objektumok bármelyikére, vagy egy ilyen objektum neve.

Funkció	IGAZ értéket adja vissza, ha
	Az érték argumentum egy üres cellára vonatkozik
	Az érték argumentum a #N/A kivételével bármilyen hibaértékre utal
	Az érték argumentum bármely hibaértékre vonatkozik (#N/A, #ÉRTÉK!, #REF!, #DIV/0!, #SZÁM!, #NÉV? vagy #ÜRES!)
	Az érték argumentum egy logikai értékre vonatkozik
	Az érték argumentum a #N/A hibaértékre hivatkozik (az érték nem érhető el)
ENETEXT	Az érték argumentum minden olyan elemre vonatkozik, amely nem szöveg. (Ne feledje, hogy a függvény TRUE-t ad vissza, ha az argumentum üres cellára hivatkozik.)
	Az érték argumentum egy számra vonatkozik
	Az érték argumentum a szövegre vonatkozik

Megjegyzések

Érvek a függvényekben Az egyes funkciók nem konvertálódnak. Az idézőjelbe tett számokat a rendszer szövegként kezeli. Például a legtöbb más függvényben, amely numerikus argumentumot igényel, a "19" szöveges értéket 19 számmá alakítja át. A képletben azonban ISNUMBER("19") ez az érték nem konvertálódik szövegből számmá, és a függvény ISNUMBER HAMIS értéket ad vissza.

Funkciók használata Az egyes funkciók A számítások eredményét célszerű képletekben ellenőrizni. Ezeket a funkciókat kombinálja a funkcióval funkcióval kombinálva, hibákat találhat a képletekben (lásd az alábbi példákat).

Példák

1. példa

Másolja ki a mintaadatokat a következő táblázatból, és illessze be egy új Excel munkalap A1 cellájába. A képletek eredményeinek megjelenítéséhez jelölje ki őket, nyomja meg az F2, majd az Enter billentyűt. Ha szükséges, módosítsa az oszlopok szélességét az összes adat megtekintéséhez.

Másolja ki a mintaadatokat az alábbi táblázatból, és illessze be egy új Excel munkalap A1 cellájába. A képletek eredményeinek megjelenítéséhez jelölje ki őket, nyomja meg az F2, majd az Enter billentyűt. Ha szükséges, módosítsa az oszlopok szélességét az összes adat megtekintéséhez.

Adat
Képlet	Leírás	Eredmény
ÜRES(A2)	Ellenőrzi, hogy a C2 cella üres-e
HIBA (A4)	Ellenőrzi, hogy az A4 cellában lévő érték (#REF!) hibaérték-e
	Ellenőrzi, hogy az A4 cellában lévő érték (#REF!) a #N/A hibaérték-e
	Ellenőrzi, hogy az A6 cellában lévő érték (#N/A) a #N/A hibaérték-e
	Ellenőrzi, hogy az A6 cellában lévő érték (#N/A) hibaérték-e
ISNUMBER (A5)	Ellenőrzi, hogy az A5 cellában lévő érték (330,92) szám-e
ESZÖVEG (A3)	Ellenőrzi, hogy az A3 cellában ("Régió1") lévő érték szöveg-e

y (x) = e x, melynek deriváltja egyenlő magával a függvénnyel.

A kitevő jelölése , vagy .

e szám

A kitevő fokának alapja az e szám. Ez egy irracionális szám. Ez megközelítőleg egyenlő
e ≈ 2,718281828459045...

Az e számot a sorozat határán keresztül határozzuk meg. Ez az ún második csodálatos határ:
.

Az e szám sorozatként is ábrázolható:
.

Exponenciális grafikon

Exponenciális gráf, y = e x .

A grafikon a kitevőt mutatja e fokig X.
y (x) = e x
A grafikonon látható, hogy a kitevő monoton növekszik.

Képletek

Az alapképletek ugyanazok, mint az e fokú bázisú exponenciális függvénynél.

;
;
;

Tetszőleges a fokú bázisú exponenciális függvény kifejezése exponenciálison keresztül:
.

Magánértékek

Hadd y (x) = e x.
.

Majd

Kitevő tulajdonságai e > 1 .

A kitevő egy hatványbázisú exponenciális függvény tulajdonságaival rendelkezik

Domain, értékkészlet (x) = e x Kitevő y
minden x-re definiálva.
- ∞ < x + ∞ .
Meghatározási tartománya:
0 < y < + ∞ .

Számos jelentése:

Szélsőségek, növekvő, csökkenő

Az exponenciális monoton növekvő függvény, így nincs szélsőértéke. Főbb tulajdonságait a táblázat tartalmazza.

Inverz függvény
;
.

A kitevő inverze a természetes logaritmus.

A kitevő származéka e fokig X Származék e fokig X :
.
egyenlő
.
Az n-edik rend származéka:

Képletek származtatása >>>

Integrál

Komplex számok A komplex számokkal végzett műveletek végrehajtása a:
,
Euler-képletek
.

hol van a képzeletbeli egység:

; ;
.

Kifejezések hiperbolikus függvényeken keresztül

; ;
;
.

Kifejezések trigonometrikus függvényekkel

Teljesítménysorozat bővítése
Felhasznált irodalom: