berita uptostart.ru. Pertandingan. instruksi. Internet. Kantor.
Meskipun hubungan ini pada pandangan pertama tampaknya sama sekali tidak terlihat (tampaknya matematika ilmiah adalah satu hal, dan ekonomi dan keuangan adalah hal lain), tetapi begitu Anda mempelajari sejarah “penemuan” bilangan ini, semuanya menjadi jelas. Faktanya, tidak peduli bagaimana ilmu pengetahuan dibagi menjadi cabang-cabang berbeda yang tampaknya tidak berhubungan, paradigma umumnya akan tetap sama (khususnya, untuk masyarakat konsumen - matematika “konsumen”).
Mari kita mulai dengan definisi. e adalah basis logaritma natural, konstanta matematika, bilangan irasional dan transendental. Terkadang bilangan e disebut bilangan Euler atau bilangan Napier. Dilambangkan dengan huruf latin kecil “e”.
Karena fungsi eksponensial e^x diintegrasikan dan dibedakan “ke dalam dirinya sendiri”, logaritma yang didasarkan pada basis e diterima sebagai logaritma yang natural (walaupun nama “kealamian” harus diragukan, karena semua matematika pada dasarnya didasarkan pada penemuan yang dibuat-buat. yang terpisah dari prinsip-prinsip fiktif alam, dan sama sekali tidak berdasarkan prinsip-prinsip alamiah).
Angka ini kadang-kadang disebut Nepier untuk menghormati ilmuwan Skotlandia Napier, penulis karya “Description of the Amazing Table of Logarithms” (1614). Namun nama tersebut tidak sepenuhnya benar, karena Napier tidak langsung menggunakan nomor itu sendiri.
Konstanta pertama kali muncul secara diam-diam dalam lampiran terjemahan bahasa Inggris dari karya Napier yang disebutkan di atas, yang diterbitkan pada tahun 1618. Di balik layar, karena hanya berisi tabel logaritma natural yang ditentukan dari pertimbangan KINEMATIS, namun konstanta itu sendiri tidak ada.
Konstanta itu sendiri pertama kali dihitung oleh ahli matematika Swiss Bernoulli (menurut versi resminya pada tahun 1690) ketika memecahkan masalah batasan nilai PENDAPATAN BUNGA. Dia menemukan bahwa jika jumlah awalnya adalah $1 (mata uang sama sekali tidak penting) dan dimajemukkan 100% per tahun sekali pada akhir tahun, jumlah akhirnya akan menjadi $2. Namun jika bunga yang sama dimajemukkan dua kali setahun, maka $1 dikalikan 1,5 dua kali, sehingga menghasilkan $1,00 x 1,5² = $2,25. Bunga majemuk setiap triwulan menghasilkan $1,00 x 1,254 = $2,44140625, dan seterusnya. Bernoulli menunjukkan bahwa jika frekuensi perhitungan bunga MENINGKAT TAK TERBATAS, maka pendapatan bunga dalam kasus bunga majemuk mempunyai batas - dan batas ini sama dengan 2,71828...
$1,00×(1+1/12)12 = $2,613035…
$1,00×(1+1/365)365 = $2,714568… - pada batas bilangan e
Jadi, angka e sebenarnya secara historis berarti LABA TAHUNAN maksimum yang mungkin sebesar 100% per tahun dan frekuensi maksimum kapitalisasi bunga. Dan apa hubungannya dengan hukum alam semesta? Angka e adalah salah satu blok bangunan penting dalam fondasi ekonomi moneter bunga pinjaman dalam masyarakat konsumen, di mana sejak awal, bahkan pada tingkat mental filosofis, semua matematika yang digunakan saat ini telah disesuaikan dan diasah selama beberapa abad. yang lalu.
Penggunaan pertama yang diketahui dari konstanta ini, yang dilambangkan dengan huruf b, muncul dalam surat Leibniz kepada Huygens, 1690-1691.
Euler mulai menggunakan huruf e pada tahun 1727, pertama kali muncul dalam surat Euler kepada ahli matematika Jerman Goldbach tertanggal 25 November 1731, dan publikasi pertama dengan surat ini adalah karyanya “Mechanics, or the Science of Motion, Dijelaskan Secara Analitik , ”1736. Oleh karena itu, e biasanya disebut bilangan Euler. Meskipun beberapa ulama kemudian menggunakan huruf c, huruf e lebih sering digunakan dan menjadi sebutan standar saat ini.
Belum diketahui secara pasti mengapa huruf e dipilih. Mungkin ini disebabkan oleh fakta bahwa kata eksponensial (“indikatif”, “eksponensial”) dimulai dengan itu. Pendapat lain adalah bahwa huruf a, b, c dan d sudah cukup umum digunakan untuk tujuan lain, dan e adalah huruf "bebas" yang pertama. Perlu juga dicatat bahwa huruf e adalah huruf pertama dalam nama keluarga Euler.
Namun bagaimanapun juga, mengatakan bahwa angka e berhubungan dengan hukum universal Alam Semesta dan alam adalah hal yang tidak masuk akal. Angka ini menurut konsepnya sendiri pada awalnya dikaitkan dengan sistem kredit dan moneter keuangan, dan khususnya melalui angka ini (tetapi tidak hanya) ideologi sistem kredit dan keuangan secara tidak langsung mempengaruhi pembentukan dan perkembangan semua matematika lainnya, dan melaluinya semua ilmu lainnya (bagaimanapun, tanpa kecuali, ilmu menghitung sesuatu dengan menggunakan kaidah dan pendekatan matematika). Angka e berperan penting dalam kalkulus diferensial dan integral, yang melaluinya sebenarnya juga dikaitkan dengan ideologi dan filosofi memaksimalkan pendapatan bunga (bahkan bisa dikatakan terhubung secara tidak sadar). Bagaimana hubungan logaritma natural? Menetapkan e sebagai konstanta (bersama dengan yang lainnya) mengarah pada pembentukan koneksi implisit dalam pemikiran, yang menurutnya semua matematika yang ada tidak dapat berdiri sendiri secara terpisah dari sistem moneter! Dan dalam hal ini, sama sekali tidak mengherankan bahwa Slavia kuno (dan bukan hanya mereka) berhasil dengan baik tanpa konstanta, bilangan irasional dan transendental, dan bahkan tanpa bilangan dan bilangan secara umum (huruf bertindak sebagai bilangan di zaman kuno), logika yang berbeda, pemikiran yang berbeda dalam sistem karena tidak adanya uang (dan karena itu segala sesuatu yang berhubungan dengannya) membuat semua hal di atas tidak diperlukan lagi.
DEFINISI
Nomor adalah konstanta matematika irasional dan transendental yang disebut bilangan Euler atau nomor Makasar, yang merupakan basis logaritma natural.
Di balik layar konstan hadir dalam karya “Deskripsi Tabel Logaritma yang Menakjubkan” oleh ahli matematika Skotlandia John Napier (1550-1617) (lebih tepatnya, dalam lampiran terjemahan karya ini, yang diterbitkan pada tahun 1618). Konstanta ini pertama kali disebutkan dalam surat filsuf, ahli logika, matematikawan, mekanik, fisikawan, pengacara, sejarawan, diplomat, penemu dan ahli bahasa Saxon Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) kepada mekanik, fisikawan, matematikawan, astronom Belanda. dan penemu Christian Huyngens van Zuilichem (1629-1695) pada tahun 1690-91. Di sana ia ditunjuk dengan surat itu. Sebutan tradisional pada tahun 1727 ahli matematika dan mekanik Swiss, Jerman, Rusia Leonhard Euler (1707-1783) mulai menggunakannya; ia pertama kali menggunakannya dalam suratnya kepada ahli matematika Jerman Christian Goldbach (1690-1764) pada tahun 1731. Publikasi pertama dengan surat ini adalah karya L. Euler “Mechanics, or the Science of Motion, Dijelaskan Secara Analitik” (1736). Konstanta itu sendiri pertama kali dihitung oleh matematikawan Swiss Jacob Bernoulli (1655-1705) ketika memecahkan masalah batasan nilai pendapatan bunga:
Bilangan memegang peranan penting dalam berbagai cabang matematika, khususnya dalam kalkulus diferensial dan integral. Transendensi bilangan Euler baru dibuktikan oleh ahli matematika Perancis Charles Hermite (1822-1901) pada tahun 1873.
Tugas nomor e
1) Melalui batas:
(dicantumkan dalam urutan peningkatan akurasi)
Metode penentuan
Nomor e dapat didefinisikan dalam beberapa cara.
- Melebihi batas: e = lim x → ∞ (1 + 1 x) x (\displaystyle e=\lim _(x\to \infty )\left(1+(\frac (1)(x))\right)^(x) )(batas luar biasa kedua). e = lim n → ∞ n n !}}} !} n (\displaystyle e=\lim _(n\ke \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n
- (ini mengikuti rumus Moivre-Stirling). Sebagai jumlah dari deret tersebut:}} !} e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! (\displaystyle e=\jumlah _(n=0)^(\infty )(\frac (1)(n}} !}.
- atau 1 e = ∑ n = 2 ∞ (− 1) n n !(\displaystyle (\frac (1)(e))=\jumlah _(n=2)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n Sebagai tunggal
- a (\gaya tampilan a) 1 e = ∑ n = 2 ∞ (− 1) n n !, untuk itu ∫ 1 a d x x = 1. (\displaystyle \int \limits _(1)^(a)(\frac (dx)(x))=1.)
Sebagai satu-satunya angka positif
| , yang mana hal itu benar |
|---|
| d d x a x = a x . (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Properti Bukti irasionalitas Mari kita asumsikan itu e (\gaya tampilan e) rasional. Kemudian e = p / q (\displaystyle e=p/q), Di mana p (\gaya tampilan p) - utuh, danq (\gaya tampilan q) - alami. !} Karena itu p = e q (\gaya tampilan p=eq)=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}} !}Mengalikan kedua ruas persamaan dengan (q − 1) !} !}(\gaya tampilan (q-1) , kita dapatkan=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}} !}Semua suku di ruas kanan adalah bilangan bulat, sehingga jumlah di ruas kiri adalah bilangan bulat. Namun jumlah ini juga positif, artinya tidak kurang dari 1. Di sisi lain, ∑ n = q + 1 ∞ q !< ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) m {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}}N! = ∑ m = 1 ∞ q ! (q + m) !< 1 q {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}}= ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) . ., (q + m) !< 1 {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1}. |
- Nomor (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)(q + m) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Menjumlahkan barisan geometri di ruas kanan, kita peroleh:
- ∑ n = q + 1 ∞ q ! (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) N!
- Nomor e Karena
- q ≥ 1 (\displaystyle q\geq 1) Kami mendapatkan kontradiksi.
- teramat. Hal ini pertama kali dibuktikan pada tahun 1873 oleh Charles Hermite. Transendensi angka (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) mengikuti dari teorema Lindemann. Diasumsikan bahwa- bilangan normal, yaitu frekuensi kemunculan angka-angka yang berbeda dalam notasinya adalah sama. Saat ini (2017) hipotesis tersebut belum terbukti. adalah bilangan yang dapat dihitung (dan karenanya aritmatika).
- e i x = cos (x) + i ⋅ sin (x) (\displaystyle e^(ix)=\cos(x)+i\cdot \sin(x)) , lihat rumus Euler, khususnya Rumus penghubung bilangan Dan}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.} !}
- Nomor eπ (\gaya tampilan \pi ) , yang disebut Integral Poisson atau Integral Gauss∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π (\displaystyle \int \limits _(-\infty )^(\infty )\ e^(-x^(2))(dx)=(\sqrt (\pi ))) Untuk bilangan kompleks apa pun
- z persamaan berikut ini benar:
- e z = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! z n = lim n → ∞ (1 + z n) n .
- e = lim n → ∞ n n !}}.} !}
- N. (\displaystyle e=\lim _(n\ke \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n Representasi Katalan:
- e = 2 ⋅ 4 3 ⋅ 6 ⋅ 8 5 ⋅ 7 4 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 16 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 8 ⋅ 18 ⋅ 20 ⋅ 22 ⋅ 24 ⋅ 26 ⋅ 28 ⋅ 30 ⋅ 32 17 ⋅ 19 ⋅ 21 ⋅ 23 ⋅ 25 ⋅ 27 ⋅ 29 ⋅ 31 16 ⋯ (\displaystyle e=2\cdot (\sqrt (\frac (4)(3)))\cdot (\sqrt[(4)](\frac (6 \cdot 8)(5\cdot 7)))\cdot (\sqrt[(8)](\frac (10\cdot 12\cdot 14\cdot 16)(9\cdot 11\cdot 13\cdot 15)) )\cdot (\sqrt[(16)](\frac (18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32)(17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\ cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31)))\cdots ) Representasi melalui karya:
- e = 3 ⋅ ∏ k = 1 ∞ (2 k + 3) k + 1 2 (2 k − 1) k − 1 2 (2 k + 1) 2 k (\displaystyle e=(\sqrt (3))\ cdot \prod \limits _(k=1)^(\infty )(\frac (\left(2k+3\right)^(k+(\frac (1)(2)))\left(2k-1\ kanan)^(k-(\frac (1)(2))))(\kiri(2k+1\kanan)^(2k))))
Melalui nomor Bell}} !}
E = 1 B n ∑ k = 0 ∞ k n k !
(\displaystyle e=(\frac (1)(B_(n)))\sum _(k=0)^(\infty )(\frac (k^(n))(k Cerita Nomor ini kadang-kadang dihubungi tidak berbulu untuk menghormati ilmuwan Skotlandia Napier, penulis karya “Deskripsi Tabel Logaritma yang Menakjubkan” (1614). Namun nama ini tidak sepenuhnya benar karena memiliki logaritma bilangan x (\gaya tampilan x).
sama
10 7 ⋅ log 1 / e (x 10 7) (\displaystyle 10^(7)\cdot \,\log _(1/e)\left((\frac (x)(10^(7))) \Kanan)) Konstanta pertama kali muncul secara diam-diam dalam lampiran terjemahan bahasa Inggris dari karya Napier yang disebutkan di atas, yang diterbitkan pada tahun 1618. Di balik layar, karena hanya berisi tabel logaritma natural yang ditentukan dari pertimbangan kinematik, tetapi konstanta itu sendiri tidak ada. Konstanta itu sendiri pertama kali dihitung oleh ahli matematika Swiss Jacob Bernoulli saat memecahkan masalah nilai pembatas pendapatan bunga. Dia menemukan bahwa jika jumlah aslinya $1 (\gaya tampilan \$1) dan dihitung setiap tahun sekali pada akhir tahun, maka jumlah seluruhnya adalah Konstanta pertama kali muncul secara diam-diam dalam lampiran terjemahan bahasa Inggris dari karya Napier yang disebutkan di atas, yang diterbitkan pada tahun 1618. Di balik layar, karena hanya berisi tabel logaritma natural yang ditentukan dari pertimbangan kinematik, tetapi konstanta itu sendiri tidak ada.$2 (\gaya tampilan \$2) . Namun jika bunga yang sama dihitung dua kali dalam setahun, maka dikalikan dengan 1 , 5 (\gaya tampilan 1(,)5) dua kali, mendapatkan $ 1, 00 ⋅ 1, 5 2 = $ 2, 25 (\displaystyle \$1(,)00\cdot 1(,)5^(2)=\$2(,)25), dan seterusnya. Bernoulli menunjukkan bahwa jika frekuensi penghitungan bunga dinaikkan tanpa batas, maka pendapatan bunga dalam kasus bunga majemuk mempunyai batas: lim n → ∞ (1 + 1 n) n .(\displaystyle \lim _(n\to \infty )\left(1+(\frac (1)(n))\right)^(n).) dan batas ini sama dengan angkanya.
e (≈ 2,718 28) (\displaystyle e~(\kira-kira 2(,)71828))
$ 1, 00 ⋅ (1 + 1 12) 12 = $ 2.613.035... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(12))\right)^( 12 )=\$2(,)613035...)
$ 1, 00 ⋅ (1 + 1,365) 365 = $ 2,714,568... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(365))\right)^( 365) =\$2(,)714568...) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Jadi konstanta berarti keuntungan tahunan maksimum yang mungkin pada 100% (\gaya tampilan 100\%)
per tahun dan frekuensi maksimum kapitalisasi bunga. Penggunaan konstanta ini yang pertama kali diketahui, yang dilambangkan dengan huruf b (\gaya tampilan b)
, ditemukan dalam surat Leibniz kepada Huygens, -1691. (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Surat (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Euler mulai menggunakannya pada tahun 1727, pertama kali ditemukan dalam surat Euler kepada ahli matematika Jerman Goldbach tertanggal 25 November 1731, dan publikasi pertama dengan surat ini adalah karyanya “Mechanics, or the Science of Motion, Dijelaskan Secara Analitik,” 1736. Masing-masing, bilangan Euler biasa dipanggil . Meskipun beberapa ilmuwan kemudian menggunakan surat itu c (\gaya tampilan c) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).), surat
lebih sering digunakan dan sekarang menjadi sebutan standar. Masing-masing fungsinya E menguji nilai yang ditentukan dan mengembalikan TRUE atau FALSE tergantung pada hasilnya. Misalnya saja fungsinya KOSONG
mengembalikan nilai boolean TRUE jika nilai yang diuji adalah referensi ke sel kosong; jika tidak, nilai boolean FALSE akan dikembalikan. Masing-masing fungsinya Fungsi digunakan untuk memperoleh informasi tentang suatu nilai sebelum melakukan penghitungan atau tindakan lain terhadapnya. Misalnya, untuk melakukan tindakan berbeda ketika terjadi kesalahan, Anda dapat menggunakan fungsi tersebut KESALAHAN dikombinasikan dengan fungsinya:
= JIKA JIKA(
KESALAHAN(A1); "Terjadi kesalahan."; A1*2) dikombinasikan dengan fungsinya Rumus ini memeriksa kesalahan di sel A1. Ketika terjadi kesalahan, fungsinya dikombinasikan dengan fungsinya mengembalikan pesan "Terjadi kesalahan." Jika tidak ada kesalahan, fungsinya
menghitung produk A1*2.
Sintaksis
KOSONG(nilai)
EOS(nilai)
KESALAHAN(nilai)
ELOGIS(nilai)
UNM(nilai)
NETTEXT(nilai)
ETEKS(nilai) Masing-masing fungsinya argumen fungsi
dijelaskan di bawah ini. Argumen yang diperlukan. Nilai sedang diperiksa. Nilai argumen ini bisa berupa sel kosong, nilai kesalahan, nilai Boolean, teks, angka, referensi ke salah satu objek yang terdaftar, atau nama objek tersebut.
Fungsi | Mengembalikan BENAR jika |
|---|---|
|
Argumen nilai mengacu pada sel kosong |
|
|
Argumen nilai mengacu pada nilai kesalahan apa pun selain #N/A |
|
|
Argumen nilai mengacu pada nilai kesalahan apa pun (#N/A, #VALUE!, #REF!, #DIV/0!, #NUM!, #NAME?, atau #EMPTY!) |
|
|
Argumen nilai mengacu pada nilai boolean |
|
|
Argumen nilai mengacu pada nilai kesalahan #N/A (nilai tidak tersedia) |
|
|
ENETEKS |
Argumen nilai mengacu pada elemen apa pun yang bukan teks. (Perhatikan bahwa fungsi mengembalikan TRUE jika argumen merujuk pada sel kosong.) |
|
Argumen nilai mengacu pada angka |
|
|
Argumen nilai mengacu pada teks |
Catatan
Argumen dalam fungsi Masing-masing fungsinya tidak dikonversi. Setiap angka yang diapit tanda kutip dianggap sebagai teks. Misalnya, di sebagian besar fungsi lain yang memerlukan argumen numerik, nilai teks "19" diubah menjadi angka 19. Namun, dalam rumus BUKANJUMLAH("19") nilai ini tidak dikonversi dari teks menjadi angka, dan fungsinya TIDAK ADA mengembalikan SALAH.
Menggunakan fungsi Masing-masing fungsinya Lebih mudah untuk memeriksa hasil perhitungan dalam rumus. Menggabungkan fitur-fitur ini dengan fungsinya dikombinasikan dengan fungsinya, Anda dapat menemukan kesalahan dalam rumus (lihat contoh di bawah).
Contoh
Contoh 1
Salin contoh data dari tabel berikut dan tempelkan ke sel A1 lembar kerja Excel baru. Untuk menampilkan hasil rumus, pilih rumus tersebut dan tekan F2, lalu tekan Enter. Jika perlu, ubah lebar kolom untuk melihat semua data.
Salin contoh data dari tabel di bawah ini dan tempelkan ke sel A1 pada lembar kerja Excel baru. Untuk menampilkan hasil rumus, pilih rumus tersebut dan tekan F2, lalu tekan Enter. Jika perlu, ubah lebar kolom untuk melihat semua data.
Data |
||
|---|---|---|
|
Rumus |
Keterangan |
Hasil |
|
KOSONG(A2) |
Memeriksa apakah sel C2 kosong |
|
|
KESALAHAN (A4) |
Memeriksa apakah nilai di sel A4 (#REF!) adalah nilai kesalahan |
|
|
Memeriksa apakah nilai di sel A4 (#REF!) adalah nilai kesalahan #N/A |
||
|
Memeriksa apakah nilai di sel A6 (#N/A) adalah nilai kesalahan #N/A |
||
|
Memeriksa apakah nilai di sel A6 (#N/A) merupakan nilai kesalahan |
||
|
BUKAN NOMOR (A5) |
Menguji apakah nilai di sel A5 (330,92) berupa angka |
|
|
ETEKS(A3) |
Memeriksa apakah nilai di sel A3 ("Wilayah1") adalah teks |
Eksponen dilambangkan dengan , atau .
Nomor e
Dasar dari derajat eksponen adalah nomor e. Ini adalah angka yang tidak rasional. Ini kira-kira sama
e ≈ 2,718281828459045...
Bilangan e ditentukan melalui limit barisan tersebut. Inilah yang disebut batas indah kedua:
.
Angka e juga dapat direpresentasikan sebagai deret:
.
Grafik eksponensial
Grafik eksponensial, y = e x .Grafik menunjukkan eksponen e sampai tingkat tertentu X.
kamu (x) = ex
Grafik menunjukkan bahwa eksponen meningkat secara monoton.
Rumus
Rumus dasarnya sama dengan fungsi eksponensial dengan basis derajat e.
;
;
;
Ekspresi fungsi eksponensial dengan basis derajat sembarang a melalui eksponensial:
.
Nilai-nilai pribadi
Biarkan kamu (x) = ex.
.
Kemudian
Properti Eksponen e > 1 .
Eksponen mempunyai sifat fungsi eksponensial dengan basis pangkat
Domain, kumpulan nilai (x) = ex Eksponen y
didefinisikan untuk semua x.
- ∞ < x + ∞
.
Domain definisinya:
0
< y < + ∞
.
Banyak artinya:
Ekstrem, meningkat, menurun
Eksponensial merupakan fungsi yang meningkat secara monoton, sehingga tidak mempunyai titik ekstrim. Properti utamanya disajikan dalam tabel.
Fungsi terbalik
;
.
Kebalikan dari eksponen adalah logaritma natural.
Turunan dari eksponen e sampai tingkat tertentu X Turunan e sampai tingkat tertentu X
:
.
sama dengan
.
Turunan dari orde ke-n:
Menurunkan rumus > > >
Integral
Bilangan kompleks Operasi dengan bilangan kompleks dilakukan dengan menggunakan:
,
rumus Euler
.
di mana satuan imajinernya:
;
;
.
Ekspresi melalui fungsi hiperbolik
;
;
;
.
Ekspresi menggunakan fungsi trigonometri
Ekspansi seri daya
Sastra bekas:
