Бұл байланыс бір қарағанда мүлдем түсініксіз болып көрінгенімен (ғылыми математика, ол бір нәрсе, ал экономика мен қаржы мүлдем басқа), бірақ бұл санның «ашылу» тарихын зерттегеннен кейін бәрі анық болады. Шындығында, ғылымдар бір-бірімен байланысты емес болып көрінетін әртүрлі салаларға қалай бөлінгеніне қарамастан, жалпы парадигма бұрынғысынша бірдей болады (атап айтқанда, тұтынушылар қоғамы үшін – «тұтынушы» математикасы).

Анықтамадан бастайық. e - натурал логарифмнің негізі, математикалық тұрақты, иррационал және трансценденттік сан. Кейде e саны Эйлер саны немесе Непье саны деп аталады. Кіші латын әрпімен «e» белгіленеді.

e^x көрсеткіштік функциясы интегралданған және «өзіне» дифференциалданғандықтан, e негізіне негізделген логарифмдер табиғи деп қабылданады («табиғилық» атауының өзі үлкен күмән тудыруы керек, өйткені барлық математика негізінен жасанды түрде ойлап табылғанға негізделген. Табиғаттан ажырағандар, табиғи емес, жалған принциптер).

Бұл сан кейде «Логарифмдердің таңғажайып кестесінің сипаттамасы» (1614) еңбегінің авторы шотланд ғалымы Непьердің құрметіне Непьер деп аталады. Дегенмен, бұл атау мүлдем дұрыс емес, өйткені Непьер санның өзін тікелей қолданбаған.

Тұрақты бірінші рет 1618 жылы жарияланған Непьердің жоғарыда аталған еңбегінің ағылшын тіліндегі аудармасының қосымшасында жасырын түрде кездеседі. Сахна артында, себебі ол тек КИНЕМАТИКАЛЫҚ пайымдаулардан анықталған табиғи логарифмдер кестесін қамтиды, бірақ тұрақтының өзі жоқ.

Тұрақтының өзін алғаш рет Швейцариялық математигі Бернулли (1690 жылғы ресми нұсқа бойынша) ПАЙЫЗДЫҚ КІРІСтің шекті мәні мәселесін шешу кезінде есептеген. Ол егер бастапқы сома $1 болса (валюта мүлдем маңызды емес) және жыл соңында бір рет жылына 100% қосылса, соңғы сома $2 болатынын анықтады. Бірақ егер бірдей пайыздар жылына екі рет қосылса, онда $1 1,5 есеге көбейтіледі, нәтижесінде $1,00 x 1,5² = $2,25 болады. Күрделі пайыздар тоқсан сайынғы нәтиже $1,00 x 1,254 = $2,44140625 және т.б. Бернулли көрсеткендей, егер пайыздарды есептеу жиілігі ШЕКСІЗ ӨСІРЕТІН болса, онда күрделі пайыз жағдайында пайыздық кірістің шегі бар - және бұл шек 2,71828... тең.

$1,00×(1+1/12)12 = $2,613035…

$1,00×(1+1/365)365 = $2,714568… - шектеуде e саны

Осылайша, e саны іс жүзінде жылдық 100% деңгейінде мүмкін болатын ең жоғары ЖЫЛДЫҚ ПАЙДАны және пайыздық капиталдандырудың максималды жиілігін білдіреді. Ал оған Әлем заңдарының қандай қатысы бар? e саны тұтынушылық қоғамда несиелік қызығушылықтың ақша экономикасының негізін қалаудағы маңызды құрылыс блоктарының бірі болып табылады, оның аясында ең басынан бастап, тіпті психикалық философиялық деңгейде, бүгінгі таңда қолданылатын барлық математика бірнеше ғасырлар бойы түзетіліп, өткірленді. бұрын.

Бұл тұрақтының бірінші белгілі қолданылуы, ол b әрпімен белгіленген, Лейбництің Гюйгенске жазған хаттарында, 1690-1691 ж.

Эйлер е әрпін 1727 жылы қолдана бастады, ол алғаш рет Эйлердің неміс математигі Голдбахқа 1731 жылы 25 қарашада жазған хатында кездеседі және осы хатпен алғашқы жарияланым оның «Механика немесе қозғалыс ғылымы, аналитикалық түрде түсіндірілетін» еңбегі болды. ,” 1736 ж. Тиісінше, e әдетте Эйлер саны деп аталады. Кейбір ғалымдар кейіннен с әрпін пайдаланғанымен, e әрпі жиі қолданылған және бүгінгі таңда стандартты белгі болып табылады.

Нақты неліктен е әрпі таңдалғаны белгісіз. Мүмкін, бұл экспоненциалды («индикативті», «көрсеткіштік») сөзінің одан басталуымен байланысты болуы мүмкін. Тағы бір ұсыныс: a, b, c және d әріптері басқа мақсаттар үшін жеткілікті түрде қолданыста болды, ал e бірінші «еркін» әріп болды. Сондай-ақ, е әрпінің Эйлер фамилиясындағы бірінші әріп екені де назар аударарлық.

Бірақ кез келген жағдайда, е саны қандай да бір түрде Әлемнің және табиғаттың әмбебап заңдарына қатысты деп айту - бұл абсурд. Бұл сан тұжырымдаманың өзі бойынша бастапқыда несие-қаржылық ақша жүйесімен байланысты болды, атап айтқанда, осы сан арқылы (бірақ тек қана емес) несие-қаржы жүйесінің идеологиясы барлық басқа математиканың қалыптасуы мен дамуына жанама әсер етті және ол арқылы барлық басқа ғылымдар (әйтеуір, ғылым математиканың ережелері мен тәсілдерін пайдалана отырып, бір нәрсені есептейді). e саны дифференциалдық және интегралдық есептеулерде маңызды рөл атқарады, ол арқылы пайыздық кірісті барынша арттыру идеологиясы мен философиясымен де байланысты (тіпті оны санадан тыс байланысты деуге болады). Натурал логарифм қалай байланысты? Тұрақты ретінде e орнату (барлығымен бірге) ойлауда жасырын байланыстардың қалыптасуына әкелді, оған сәйкес барлық бар математика ақша жүйесінен оқшау өмір сүре алмайды! Осы тұрғыдан алғанда, ежелгі славяндардың (тек олар ғана емес) тұрақтыларсыз, иррационалды және трансценденттік сандарсыз, тіпті сандарсыз және жалпы сандарсыз (ежелгі уақытта әріптер сандар ретінде әрекет еткен) жақсы басқарғаны таңқаларлық емес. әртүрлі логика, ақша болмаған кезде жүйедегі әртүрлі ойлау (демек, онымен байланысты барлық нәрсе) жоғарыда айтылғандардың бәрін жай ғана қажетсіз етеді.

АНЫҚТАУ

Сандеп аталатын иррационал және трансценденттік математикалық тұрақты болып табылады Эйлер санынемесе Napier нөмірі, ол натурал логарифмнің негізі болып табылады.

Сахна артында тұрақты шотланд математигі Джон Непьердің (1550-1617) «Логарифмдердің таңғажайып кестесінің сипаттамасы» атты еңбегінде (дәлірек айтсақ, 1618 жылы жарияланған осы еңбектің аудармасына қосымшада) бар. Бұл тұрақты туралы алғашқы ескерту саксондық философ, логик, математик, механик, физик, заңгер, тарихшы, дипломат, өнертапқыш және лингвист Готфрид Вильгельм Лейбництің (1646-1716) голландиялық механик, физик, математик, математикке жазған хаттарында кездеседі. және өнертапқыш Кристиан Гюйнгенс ван Зуйличем (1629-1695) 1690-91 ж. Онда ол хатпен белгіленді. Дәстүрлі белгілеу 1727 жылы швейцариялық, неміс, орыс математигі және механик Леонхард Эйлер (1707-1783) қолдана бастады; ол оны алғаш рет 1731 жылы неміс математигі Кристиан Голдбахқа (1690-1764) жазған хатында қолданды. Бұл хатпен бірге шыққан алғашқы басылым Л.Эйлердің «Механика немесе қозғалыс ғылымы, аналитикалық түрде түсіндірілетін» (1736) еңбегі болды. Тұрақтының өзін алғаш рет швейцар математигі Якоб Бернулли (1655-1705) пайыздық кірістің шекті мәні мәселесін шешу кезінде есептеген:

Сан математиканың әртүрлі салаларында, әсіресе дифференциалдық және интегралдық есептеулерде маңызды рөл атқарады. Эйлер санының трансценденциясын француз математигі Шарль Эрмит (1822-1901) 1873 жылы ғана дәлелдеді.

Е саны тапсырмалар

1) шек арқылы:

2,7182818284590452353602874713527… Он алтылық 2,B7E151628AED2A6A… жыныстық кіші 2; 43 05 48 52 29 48 35 … Рационал жуықтаулар 8 / 3 ; 11 / 4 ; 19 / 7 ; 87 / 32 ; 106 / 39 ; 193 / 71 ; 1264 / 465 ; 2721 / 1001 ; 23225 / 8544

(дәлдікті арттыру ретімен тізімделген)

Жалғасатын бөлшек

Анықтау әдістері

Сан eбірнеше жолмен анықтауға болады.

• Лимиттен асып кетті: e = lim x → ∞ (1 + 1 x) x (\displaystyle e=\lim _(x\to \infty )\left(1+(\frac (1)(x))\оң)^(x) )(екінші тамаша шек). e = lim n → ∞ n n !}}} !} n (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n)
• (бұл Мойвр-Стирлинг формуласынан шығады). Қатар қосындысы ретінде:}} !} e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! (\displaystyle e=\sum _(n=0)^(\infty )(\frac (1)(n)}} !}.
• немесе 1 e = ∑ n = 2 ∞ (− 1) n n !(\displaystyle (\frac (1)(e))=\сома _(n=2)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n) Бірегей
• a (\дисплей стилі a) 1 e = ∑ n = 2 ∞ (− 1) n n !, ол үшін ∫ 1 a d x x = 1. (\displaystyle \int \limits _(1)^(a)(\frac (dx)(x))=1.)

Жалғыз оң сан ретінде

, ол үшін бұл шындық

d d x a x = a x . (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)Қасиеттер Иррационалдықтың дәлеліСоны делік e (\displaystyle e)ұтымды. Содан кейін e = p / q (\displaystyle e=p/q), Қайда p (\displaystyle p) - тұтас, және q (\displaystyle q) - табиғи. !}Демек p = e q (\displaystyle p=eq)=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}} !} Теңдеудің екі жағын көбейту (q − 1) !} !}(\displaystyle (q-1) , аламыз=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}} !} Оң жақтағы барлық терминдер бүтін сандар, сондықтан сол жағындағы қосынды бүтін сан. Бірақ бұл сома да оң, яғни ол 1-ден кем емес. Екінші жағынан, ∑ n = q + 1 ∞ q !< ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) m {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}} n! = ∑ m = 1 ∞ q !< 1 q {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}} (q + м) ! = ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) ., = ∑ m = 1 ∞ q !< 1 {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1} .

• Сан (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).). (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)(q + м)
• Оң жақтағы геометриялық прогрессияны қорытындылай отырып, біз аламыз: (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)∑ n = q + 1 ∞ q !
• Сан e n!
• бері q ≥ 1 (\displaystyle q\geq 1)
• Біз қарама-қайшылықты аламыз. (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)трансцендентальды. Мұны алғаш рет 1873 жылы Чарльз Эрмит дәлелдеген. Санның трансценденциясы Линдеман теоремасынан шығады.деп болжануда - қалыпты сан, яғни оның жазылуында әртүрлі цифрлардың пайда болу жиілігі бірдей. Қазіргі уақытта (2017 ж.) бұл гипотеза дәлелденген жоқ.
• есептелетін (демек, арифметикалық) сан. e i x = cos ⁡ (x) + i ⋅ sin ⁡ (x) (\displaystyle e^(ix)=\cos(x)+i\cdot \sin(x)), әсіресе Эйлер формуласын қараңыз Сандарды байланыстыратын формула}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.} !}
• Сан eЖәне π (\displaystyle \pi ), деп аталатын Пуассон интегралы немесе Гаусс интегралы ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π (\displaystyle \int \limits _(-\infty )^(\infty )\ e^(-x^(2))(dx)=(\sqrt (\pi) )))
• Кез келген күрделі сан үшін z
• мына теңдіктер дұрыс: e z = ∑ n = 0 ∞ 1 n !
• e = lim n → ∞ n n !}}.} !}
• n. (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n)
• Каталондық өкілдік: e = 2 ⋅ 4 3 ⋅ 6 ⋅ 8 5 ⋅ 7 4 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 16 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 8 ⋅ 18 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅ 28 ⋅ 30 ⋅ 32 17 ⋅ 19 ⋅ 21 ⋅ 23 ⋅ 25 ⋅ 27 ⋅ 29 ⋅ 31 16 ⋯ (\displaystyle e=2\cdot (\sqrt (\frac (4)(3)))\cdot (\sqrt[(4)](\frac (6)) \cdot 8)(5\cdot 7)))\cdot (\sqrt[(8)](\frac (10\cdot 12\cdot 14\cdot 16)(9\cdot 11\cdot 13\cdot 15)) )\cdot (\sqrt[(16)](\frac (18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32)(17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\ cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31)))\cdots )
• Жұмыс арқылы көрсету:

e = 3 ⋅ ∏ k = 1 ∞ (2 k + 3) k + 1 2 (2 k − 1) k − 1 2 (2 k + 1) 2 k (\displaystyle e=(\sqrt (3))\ cdot \prod \limits _(k=1)^(\infty )(\frac (\left(2k+3\right)^(k+(\frac (1)(2)))\left(2k-1\ оң)^(k-(\frac (1)(2))))(\сол(2k+1\оң)^(2к))))}} !}

Қоңырау нөмірлері арқылы

E = 1 B n ∑ k = 0 ∞ k n k ! (\displaystyle e=(\frac (1)(B_(n)))\сома _(k=0)^(\infty )(\frac (k^(n))(k)Әңгіме Бұл нөмір кейде шақырыладықауырсынсыз «Логарифмдердің таңғажайып кестесінің сипаттамасы» еңбегінің авторы шотланд ғалымы Непьердің құрметіне (1614). Дегенмен, бұл атау мүлдем дұрыс емес, өйткені оның санның логарифмі бар.

x (\displaystyle x)

тең болды 10 7 ⋅ журнал 1 / e ⁡ (x 10 7) (\displaystyle 10^(7)\cdot \,\log _(1/e)\left((\frac (x)(10^(7))) \оң))Тұрақты бірінші рет 1618 жылы жарияланған Непьердің жоғарыда аталған еңбегінің ағылшын тіліндегі аудармасының қосымшасында жасырын түрде кездеседі. Сахна артында, өйткені ол тек кинематикалық ойлардан анықталған табиғи логарифмдер кестесін қамтиды, бірақ тұрақтының өзі жоқ. Тұрақтының өзін алғаш рет швейцар математигі Якоб Бернулли пайыздық кірістің шекті мәні мәселесін шешу кезінде есептеген. Ол егер бастапқы соманы анықтады$ 1 (\displaystyle \$1) 10 7 ⋅ журнал 1 / e ⁡ (x 10 7) (\displaystyle 10^(7)\cdot \,\log _(1/e)\left((\frac (x)(10^(7))) \оң))және жыл сайын бір рет жылдың соңында есептеледі, содан кейін жалпы сома болады $ 2 (\displaystyle \$2). Бірақ бірдей пайыздар жылына екі рет есептелсе, онда көбейтіледі 1 , 5 (\displaystyle 1(,)5) екі рет, алу, және т.б. Бернулли егер пайыздарды есептеу жиілігі шексіз ұлғайса, күрделі пайыз жағдайында пайыздық кірістің шегі бар екенін көрсетті: lim n → ∞ (1 + 1 n) n .(\displaystyle \lim _(n\to \infty )\left(1+(\frac (1)(n))\оң)^(n).) және бұл шектеу санға тең.

e (≈ 2,718 28) (\displaystyle e~(\шамамен 2(,)71828))

$ 1, 00 ⋅ (1 + 1 12) 12 = $ 2,613,035... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(12))\оң)^( 12 )=\$2(,)613035...)

$ 1, 00 ⋅ (1 + 1,365) 365 = $ 2,714,568... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(365))\оң)^( 365) =\$2(,)714568...) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)Сонымен тұрақты кезіндегі максималды мүмкін болатын жылдық пайданы білдіреді 100% (\displaystyle 100\%)

пайыздық капиталдандырудың жылдық және ең жоғары жиілігі. Бұл тұрақтының алғашқы белгілі қолданылуы, мұнда ол әріппен белгіленді b (\дисплей стилі b)

, Лейбництің Гюйгенске жазған хаттарынан табылды, -1691 ж. (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)Хат (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)Эйлер оны 1727 жылы қолдана бастады, ол алғаш рет Эйлердің неміс математигі Голдбахқа 1731 жылы 25 қарашада жазған хатында кездеседі және осы хатпен бірге бірінші жарияланым оның «Механика немесе қозғалыс ғылымы, аналитикалық түрде түсіндірілген» еңбегі болды. 1736. Сәйкесінше, Эйлер саныәдетте шақырылады . Кейбір ғалымдар кейіннен хатты пайдаланғанымен c (\displaystyle c) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).), хат

жиі қолданылды және қазір стандартты белгілеу болып табылады. Функциялардың әрқайсысыЕ көрсетілген мәнді тексереді және нәтижеге байланысты TRUE немесе FALSE қайтарады. Мысалы, функцияБОС

егер тексерілетін мән бос ұяшыққа сілтеме болса, логикалық мәнді TRUE қайтарады; әйтпесе, FALSE логикалық мәні қайтарылады. Функциялардың әрқайсысыФункциялар Есептеу немесе оған басқа әрекетті орындау алдында мән туралы ақпаратты алу үшін пайдаланылады. Мысалы, қате орын алған кезде басқа әрекетті орындау үшін функцияны пайдалануға боладыҚАТЕ функциясымен үйлеседі:

= ЕГЕР ЕГЕР(

ERROR(A1); «Қате орын алды.»; A1*2) функциясымен үйлеседіБұл формула A1 ұяшығындағы қатені тексереді. Қате орын алған кезде функция функциясымен үйлеседі«Қате орын алды» хабарын қайтарады. Егер қателер болмаса, функция

А1*2 көбейтіндісін есептейді.

Синтаксис

БОС(мән)

EOS(мән)

ҚАТЕ(мән)

ELOGIC(мән)

UNM(мән)

NETTEXT(мән)

ETEXT(мән) Функциялардың әрқайсысыфункция аргументі

төменде сипатталған.Міндетті аргумент. Мән тексеріліп жатыр. Бұл аргументтің мәні бос ұяшық, қате мәні, логикалық мән, мәтін, сан, тізімдегі кез келген нысандарға сілтеме немесе осындай нысанның атауы болуы мүмкін.

Функция	TRUE қайтарады, егер
	Мән аргументі бос ұяшыққа сілтеме жасайды
	Мән аргументі #N/A мәнінен басқа кез келген қате мәніне сілтеме жасайды
	Мән аргументі кез келген қате мәніне сілтеме жасайды (#N/A, #VALUE!, #REF!, #DIV/0!, #NUM!, #NAME? немесе #EMPTY!)
	Мән аргументі логикалық мәнге сілтеме жасайды
	Мән аргументі #N/A қате мәніне сілтеме жасайды (мән қолжетімді емес)
ENETEXT	Мән аргументі мәтін болып табылмайтын кез келген элементке қатысты. (Аргумент бос ұяшыққа сілтеме жасаса, функция TRUE мәнін қайтаратынын ескеріңіз.)
	Мән аргументі санға сілтеме жасайды
	Мән аргументі мәтінге сілтеме жасайды

Ескертпелер

Функциялардағы аргументтер Функциялардың әрқайсысытүрленбейді. Тырнақшаға алынған кез келген сандар мәтін ретінде қарастырылады. Мысалы, сандық аргумент қажет ететін басқа функциялардың көпшілігінде «19» мәтіндік мәні 19 санына түрлендіріледі. Дегенмен, формулада ISNUMBER("19") бұл мән мәтіннен санға және функцияға түрлендірілмейді ISNUMBER FALSE қайтарады.

Функцияларды қолдану Функциялардың әрқайсысыФормулалардағы есептеулердің нәтижелерін тексеру ыңғайлы. Бұл мүмкіндіктерді функциямен біріктіру функциясымен үйлеседі, формулалардан қателерді таба аласыз (төмендегі мысалдарды қараңыз).

Мысалдар

1-мысал

Келесі кестеден үлгі деректерін көшіріп, оны жаңа Excel жұмыс парағының A1 ұяшығына қойыңыз. Формулалар нәтижелерін көрсету үшін оларды таңдап, F2 пернесін, содан кейін Enter пернесін басыңыз. Қажет болса, барлық деректерді көру үшін бағандардың енін өзгертіңіз.

Төмендегі кестеден үлгі деректерді көшіріп, оны жаңа Excel жұмыс парағының A1 ұяшығына қойыңыз. Формулалар нәтижелерін көрсету үшін оларды таңдап, F2 пернесін, содан кейін Enter пернесін басыңыз. Қажет болса, барлық деректерді көру үшін бағандардың енін өзгертіңіз.

Деректер
Формула	Сипаттама	Нәтиже
БОС(A2)	C2 ұяшығының бос екенін тексереді
ҚАТЕ(A4)	A4 ұяшығындағы мән (#REF!) қате мәні екенін тексереді
	A4 ұяшығындағы мән (#REF!) қате мәні #Жоқ екенін тексереді
	A6 ұяшығындағы мән (#Жоқ) қате мәні #Жоқ екенін тексереді
	A6 ұяшығындағы мән (#Жоқ/А) қате мәні екенін тексереді
ISNUMBER(A5)	A5 (330,92) ұяшығындағы мәннің сан екенін тексереді
ETEXT(A3)	A3 ұяшығындағы мәннің («Аймақ1») мәтін екенін тексереді

ж (x) = e x, туындысы функцияның өзіне тең.

Көрсеткіш , немесе ретінде белгіленеді.

Сан e

Көрсеткіш дәрежесінің негізі болып табылады саны e. Бұл иррационал сан. Ол шамамен тең
e ≈ 2,718281828459045...

e саны реттілік шегі арқылы анықталады. Бұл деп аталатын нәрсе екінші керемет шек:
.

e санын қатар түрінде де көрсетуге болады:
.

Көрсеткіштік график

Көрсеткіштік график, y = e x .

График көрсеткішті көрсетеді eдәрежеге дейін X.
ж (x) = e x
График көрсеткіштің монотонды түрде өсетінін көрсетеді.

Формулалар

Негізгі формулалар негізі e дәрежесі бар көрсеткіштік функциямен бірдей.

;
;
;

Көрсеткіштік функцияның дәрежесі ерікті базасы бар экспоненциал арқылы өрнектелуі:
.

Жеке құндылықтар

y болсын (x) = e x.
.

Содан кейін

Көрсеткіш қасиеттері e > 1 .

Көрсеткіш дәрежелік негізі бар көрсеткіштік функцияның қасиеттеріне ие

Домен, мәндер жиыны (x) = e xКөрсеткіш y
барлық x үшін анықталған.
- ∞ < x + ∞ .
Оның анықтау облысы:
0 < y < + ∞ .

Оның көптеген мағыналары:

Шектеу, өсу, кему

Көрсеткіш монотонды өсетін функция, сондықтан оның экстремумы жоқ. Оның негізгі қасиеттері кестеде көрсетілген.

Кері функция
;
.

Көрсеткіштің кері мәні натурал логарифм болып табылады.

Көрсеткіштің туындысы eдәрежеге дейін XТуынды eдәрежеге дейін X :
.
тең
.
n-ші ретті туынды:

Формулаларды шығару > > >

Интегралдық

Күрделі сандар Комплекс сандармен амалдар көмегімен орындалады:
,
Эйлер формулалары
.

ойша бірлік қайда:

; ;
.

Гиперболалық функциялар арқылы өрнектер

; ;
;
.

Тригонометриялық функцияларды қолданатын өрнектер

Қуат қатарын кеңейту
Пайдаланылған әдебиеттер: