Lai gan šī saikne no pirmā acu uzmetiena šķiet pilnīgi nepārprotama (šķiet, ka zinātniskā matemātika ir viena lieta, bet ekonomika un finanses ir pavisam kas cits), taču, izpētot šī skaitļa “atklāšanas” vēsturi, viss kļūst acīmredzams. Faktiski neatkarīgi no tā, kā zinātnes tiek sadalītas dažādās šķietami nesaistītās nozarēs, vispārējā paradigma joprojām būs tāda pati (jo īpaši patērētāju sabiedrībai - “patērētāju” matemātika).

Sāksim ar definīciju. e ir naturālā logaritma bāze, matemātiskā konstante, iracionāls un pārpasaulīgs skaitlis. Dažreiz skaitli e sauc par Eilera skaitli vai Napier skaitli. Apzīmē ar mazo latīņu burtu “e”.

Tā kā eksponenciālā funkcija e^x ir integrēta un diferencēta “sevī”, logaritmi, kuru pamatā ir e bāze, tiek pieņemti kā dabiski (lai gan par pašu “dabiskuma” nosaukumu vajadzētu būt lielām šaubām, jo ​​visa matemātika būtībā balstās uz mākslīgi izgudrotu. tie, kas ir atdalīti no dabas fiktīviem principiem un nepavisam nav uz dabiskiem).

Šo skaitli dažreiz sauc par Nepjē par godu skotu zinātniekam Napieram, darba “Apbrīnojamās logaritmu tabulas apraksts” (1614) autoram. Tomēr šis nosaukums nav pilnīgi pareizs, jo Napier tieši neizmantoja pašu numuru.

Konstante vispirms klusējot parādās 1618. gadā publicētā Napiera iepriekšminētā darba tulkojuma angļu valodā pielikumā. Aizkulisēs, jo tajā ir tikai no KINEMĀTISKIEM apsvērumiem noteikta naturālo logaritmu tabula, bet pašas konstantes nav.

Pašu konstanti pirmais aprēķināja Šveices matemātiķis Bernulli (pēc oficiālās versijas 1690. gadā), risinot PROCENTU IENĀKUMU ierobežojošās vērtības problēmu. Viņš atklāja, ka, ja sākotnējā summa bija 1 ASV dolārs (valūta ir pilnīgi nesvarīga) un vienu reizi gada beigās saliktu 100% gadā, galīgā summa būtu 2 ASV dolāri. Bet, ja vieni un tie paši procenti tiek pieskaitīti divas reizes gadā, tad 1 ASV dolārs tiek reizināts ar 1,5 divreiz, kā rezultātā tiek iegūti 1,00 $ x 1,5² = 2,25 ASV dolāri. Salikto procentu ceturkšņa rezultāti ir USD 1,00 x 1,254 = USD 2,44140625 utt. Bernulli parādīja, ka, ja procentu aprēķināšanas biežums PALIELINĀS BEZGALĪGI, tad procentu ienākumiem salikto procentu gadījumā ir limits - un šī robeža ir vienāda ar 2,71828...

1,00 ASV dolāri × (1+1/12)12 = 2,613035 ASV dolāri…

1,00 ASV dolāri × (1+1/365)365 = 2,714568 ASV dolāri… — limitā skaitlis e

Tādējādi skaitlis e faktiski vēsturiski nozīmē maksimālo iespējamo GADA PEĻŅU 100% gadā un maksimālo procentu kapitalizācijas biežumu. Un kāds ar to sakars Visuma likumiem? Skaitlis e ir viens no svarīgākajiem pamatelementiem kredītprocentu monetārās ekonomikas pamatos patērētāju sabiedrībā, kurā jau no paša sākuma pat mentālās filozofijas līmenī visa mūsdienās lietotā matemātika tika koriģēta un saasināta vairākus gadsimtus. pirms.

Pirmais zināmais šīs konstantes lietojums, kur tas tika apzīmēts ar burtu b, parādās Leibnica vēstulēs Huygensam, 1690-1691.

Eilers sāka lietot burtu e 1727. gadā, tas pirmo reizi parādās Eilera vēstulē vācu matemātiķim Goldbaham, kas datēta 1731. gada 25. novembrī, un pirmā publikācija ar šo vēstuli bija viņa darbs “Mehānika jeb kustības zinātne, analītiski izskaidrota. ”, 1736. Attiecīgi e parasti sauc par Eilera skaitli. Lai gan daži zinātnieki vēlāk izmantoja burtu c, burts e tika lietots biežāk un mūsdienās ir standarta apzīmējums.

Nav precīzi zināms, kāpēc izvēlēts burts e. Varbūt tas ir saistīts ar faktu, ka vārds eksponenciāls (“indikatīvs”, “eksponenciāls”) sākas ar to. Vēl viens ieteikums ir tāds, ka burti a, b, c un d jau bija diezgan plaši izmantoti citiem mērķiem, un e bija pirmais "bezmaksas" burts. Jāatzīmē arī tas, ka burts e ir pirmais burts uzvārdā Eilers.

Bet jebkurā gadījumā teikt, ka skaitlis e kaut kādā veidā attiecas uz Visuma un dabas universālajiem likumiem, ir vienkārši absurdi. Šis skaitlis pēc paša jēdziena sākotnēji bija saistīts ar kredītu un finanšu monetāro sistēmu, un jo īpaši caur šo skaitli (bet ne tikai) kredītu un finanšu sistēmas ideoloģija netieši ietekmēja visas pārējās matemātikas veidošanos un attīstību, un caur to. visas pārējās zinātnes (galu galā, bez izņēmuma zinātne kaut ko aprēķina, izmantojot matemātikas noteikumus un pieejas). Skaitlim e ir liela nozīme diferenciālrēķinos un integrālrēķinos, kas caur to faktiski ir saistīts arī ar procentu ienākumu maksimizēšanas ideoloģiju un filozofiju (varētu pat teikt, ka tas ir saistīts zemapziņā). Kā ir saistīts naturālais logaritms? Nosakot e kā konstanti (kopā ar visu pārējo), domāšanā izveidojās netiešas sakarības, saskaņā ar kurām visa esošā matemātika vienkārši nevar pastāvēt atrauti no monetārās sistēmas! Un šajā gaismā nemaz nav pārsteidzoši, ka senie slāvi (un ne tikai viņi) lieliski tika galā bez konstantēm, iracionāliem un pārpasaulīgiem skaitļiem un pat bez skaitļiem un cipariem vispār (senos laikos burti darbojās kā cipari), atšķirīga loģika, atšķirīga domāšana sistēmā naudas trūkuma gadījumā (un līdz ar to viss, kas ar to saistīts) visu iepriekš minēto padara vienkārši nevajadzīgu.

DEFINĪCIJA

Numurs ir iracionāla un pārpasaulīga matemātiska konstante, ko sauc Eilera numurs vai Napier numurs, kas ir naturālā logaritma bāze.

Aizkulisēs pastāvīgi atrodas skotu matemātiķa Džona Napiera (1550-1617) darbā “Apbrīnojamās logaritmu tabulas apraksts” (precīzāk, šī darba tulkojuma pielikumā, kas publicēts 1618. gadā). Pirmo reizi šī konstante ir pieminēta sakšu filozofa, loģiķa, matemātiķa, mehāniķa, fiziķa, jurista, vēsturnieka, diplomāta, izgudrotāja un valodnieka Gotfrīda Vilhelma Leibnica (1646-1716) vēstulēs holandiešu mehāniķim, fiziķim, matemātiķim, astronomim. un izgudrotājs Christian Huyngens van Zuilichem (1629-1695) 1690.-1691. Tur tas tika apzīmēts ar vēstuli. Tradicionālais apzīmējums 1727. gadā to sāka lietot šveiciešu, vācu, krievu matemātiķis un mehāniķis Leonhards Eilers (1707-1783); pirmo reizi viņš to izmantoja savā vēstulē vācu matemātiķim Kristianam Goldbaham (1690-1764) 1731. gadā. Pirmā publikācija ar šo vēstuli bija L. Eilera darbs “Mehānika jeb kustības zinātne, kas izskaidro analīti” (1736). Pašu konstanti pirmais aprēķināja Šveices matemātiķis Džeikobs Bernulli (1655-1705), risinot procentu ienākumu ierobežojošās vērtības problēmu:

Skaitļiem ir liela nozīme dažādās matemātikas nozarēs un jo īpaši diferenciālrēķinos un integrāļos. Eilera skaitļa transcendenci pierādīja franču matemātiķis Šarls Hermīts (1822-1901) tikai 1873. gadā.

Numura e uzdevumi

1) Līdz ierobežojumam:

2,7182818284590452353602874713527… Heksadecimāls 2,B7E151628AED2A6A… seksa mazums 2; 43 05 48 52 29 48 35 … Racionālie tuvinājumi 8 / 3 ; 11 / 4 ; 19 / 7 ; 87 / 32 ; 106 / 39 ; 193 / 71 ; 1264 / 465 ; 2721 / 1001 ; 23225 / 8544

(norādīts precizitātes palielināšanas secībā)

Turpinātā daļa

Noteikšanas metodes

Numurs e var definēt vairākos veidos.

• Pārsniedzot ierobežojumu: e = lim x → ∞ (1 + 1 x) x (\displaystyle e=\lim _(x\to \infty )\left(1+(\frac (1)(x))\right)^(x) )(otrais ievērojamais limits). e = lim n → ∞ n n !}}} !} n (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n
• (tas izriet no Moivre-Stirling formulas). Kā sērijas summa:}} !} e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! (\displaystyle e=\sum _(n=0)^(\infty )(\frac (1)(n}} !}.
• vai 1 e = ∑ n = 2 ∞ (− 1) n n !(\displaystyle (\frac (1)(e))=\sum _(n=2)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n Kā vienskaitlī
• a (\displaystyle a) 1 e = ∑ n = 2 ∞ (− 1) n n !, par kuru ∫ 1 a d x x = 1. (\displaystyle \int \limits _(1)^(a)(\frac (dx)(x))=1.)

Kā vienīgais pozitīvais skaitlis

, par ko tā ir taisnība

d d x a x = a x . (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)Īpašības Iracionalitātes pierādījums Pieņemsim, ka e (\displaystyle e) racionāls. Tad e = p/q (\displaystyle e=p/q), Kur p (\displaystyle p) - vesels, un q (\displaystyle q) -dabisks. !} Līdz ar to p = e q (\displaystyle p=eq)=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}} !} Reizinot abas vienādojuma puses ar (q - 1) !} !}(\displaystyle (q-1) , saņemam=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}} !} Visi labās puses vārdi ir veseli skaitļi, tāpēc summa kreisajā pusē ir vesels skaitlis. Bet arī šī summa ir pozitīva, kas nozīmē, ka tā nav mazāka par 1. No otras puses, ∑ n = q + 1 ∞ q !< ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) m {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}} n! = ∑ m = 1 ∞ q !< 1 q {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}} (q + m) ! = ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) ., = ∑ m = 1 ∞ q !< 1 {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1} .

• Numurs (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).). (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)(q + m)
• Apkopojot ģeometrisko progresiju labajā pusē, mēs iegūstam: (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)∑ n = q + 1 ∞ q !
• Numurs e n!
• Jo q ≥ 1 (\displaystyle q\geq 1)
• Mēs iegūstam pretrunu. (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) pārpasaulīgs. Pirmo reizi to 1873. gadā pierādīja Čārlzs Ermīts. Skaitļa transcendence izriet no Lindemaņa teorēmas. Tiek pieņemts, ka - normāls skaitlis, tas ir, dažādu ciparu parādīšanās biežums tā apzīmējumā ir vienāds. Pašlaik (2017) šī hipotēze nav pierādīta.
• ir izskaitļojams (un līdz ar to aritmētisks) skaitlis. e i x = cos ⁡ (x) + i ⋅ sin ⁡ (x) (\displaystyle e^(ix)=\cos(x)+i\cdot \sin(x)), skatīt jo īpaši Eilera formulu Formula, kas savieno skaitļus}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.} !}
• Numurs e Un π (\displaystyle \pi ), ts Puasona integrālis vai Gausa integrālis ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π (\displaystyle \int \limits _(-\infty )^(\infty )\ e^(-x^(2))(dx)=(\sqrt (\pi) )))
• Jebkuram kompleksam skaitlim z
• šādas vienādības ir patiesas: e z = ∑ n = 0 ∞ 1 n !
• e = lim n → ∞ n n !}}.} !}
• n. (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n
• Katalāņu valodas pārstāvniecība: e = 2 ⋅ 4 3 ⋅ 6 ⋅ 8 5 ⋅ 7 4 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 16 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 8 ⋅ ⋅⋅⋅⋅ 18 20 20 ⋅ 28 ⋅ 30 ⋅ 32 17 ⋅ 19 ⋅ 21 ⋅ 23 ⋅ 25 ⋅ 27 ⋅ 29 ⋅ 31 16 ⋯ (\displaystyle e=2\cdot (\sqrt (\frac (4)(3)))\cdot (\sqrt[(4)](\frac (6) \cdot 8)(5\cdot 7)))\cdot (\sqrt[(8)](\frac (10\cdot 12\cdot 14\cdot 16)(9\cdot 11\cdot 13\cdot 15)) )\cdot (\sqrt[(16)](\frac (18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32)(17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\ cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31)))\cdots)
• Pārstāvība caur darbu:

e = 3 ⋅ ∏ k = 1 ∞ (2 k + 3) k + 1 2 (2 k - 1) k - 1 2 (2 k + 1) 2 k (\displaystyle e=(\sqrt (3))\ cdot \prod \limits _(k=1)^(\infty )(\frac (\left(2k+3\right)^(k+(\frac (1)(2)))\left(2k-1\ pa labi)^(k-(\frac (1)(2))))(\left(2k+1\right)^(2k))))}} !}

Caur Bell numuriem

E = 1 B n ∑ k = 0 ∞ k n k ! (\displaystyle e=(\frac (1)(B_(n)))\sum _(k=0)^(\infty )(\frac (k^(n))(k Stāsts Šo numuru dažreiz sauc bez spalvām par godu skotu zinātniekam Napieram, darba “Apbrīnojamās logaritmu tabulas apraksts” (1614) autoram. Tomēr šis nosaukums nav pilnīgi pareizs, jo tam ir skaitļa logaritms.

x (\displaystyle x)

bija līdzvērtīgs 10 7 ⋅ log 1 / e ⁡ (x 10 7) (\displaystyle 10^(7)\cdot \,\log _(1/e)\left((\frac (x)(10^(7))) \pa labi)) Konstante vispirms klusējot parādās 1618. gadā publicētā Napiera iepriekšminētā darba tulkojuma angļu valodā pielikumā. Aizkulisēs, jo tajā ir tikai no kinemātiskiem apsvērumiem noteikta naturālo logaritmu tabula, bet pašas konstantes nav. Pašu konstanti pirmais aprēķināja Šveices matemātiķis Džeikobs Bernulli, risinot procentu ienākumu ierobežojošās vērtības problēmu. Viņš atklāja, ka, ja sākotnējā summa 1 $ (\displaystyle \$1) 10 7 ⋅ log 1 / e ⁡ (x 10 7) (\displaystyle 10^(7)\cdot \,\log _(1/e)\left((\frac (x)(10^(7))) \pa labi)) un tiek aprēķināta katru gadu vienu reizi gada beigās, tad kopējā summa būs 2 $ (\displaystyle \$2). Bet, ja vienus un tos pašus procentus aprēķina divas reizes gadā, tad reizināts ar 1 , 5 (\displaystyle 1(,)5) divreiz, kļūst, un tā tālāk. Bernulli parādīja, ka, ja procentu aprēķinu biežums tiek palielināts uz nenoteiktu laiku, tad procentu ienākumiem salikto procentu gadījumā ir limits: lim n → ∞ (1 + 1 n) n .(\displaystyle \lim _(n\to \infty )\left(1+(\frac (1)(n))\right)^(n).) un šis ierobežojums ir vienāds ar skaitli.

e (≈ 2,718 28) (\displaystyle e~(\approx 2(,)71828))

$ 1, 00 ⋅ (1 + 1 12) 12 = $ 2 613 035... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(12))\right)^( 12 )=\$2(,)613035...)

1 00 $ ⋅ (1 + 1365) 365 = 2 714 568 ASV dolāri... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(365))\right)^( 365) =\$2(,)714568...) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Tātad konstante nozīmē maksimālo iespējamo gada peļņu plkst 100% (\displaystyle 100\%)

gadā un procentu kapitalizācijas maksimālais biežums. Pirmais zināmais šīs konstantes lietojums, kur tas tika apzīmēts ar burtu b (\displaystyle b)

, atrasts Leibnica vēstulēs Huigensam, -1691. (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Vēstule (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Eilers to sāka lietot 1727. gadā, tas pirmo reizi ir atrodams Eilera vēstulē vācu matemātiķim Goldbaham, kas datēta 1731. gada 25. novembrī, un pirmā publikācija ar šo vēstuli bija viņa darbs “Mehānika jeb kustības zinātne, kas izskaidrota analītiski”. 1736. gads. Respektīvi, Eilera numurs parasti sauc . Lai gan daži zinātnieki vēlāk izmantoja šo vēstuli c (\displaystyle c) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).), vēstule

tika izmantots biežāk un tagad ir standarta apzīmējums. Katra no funkcijām E pārbauda norādīto vērtību un atkarībā no rezultāta atgriež TRUE vai FALSE. Piemēram, funkcija TUKŠS

atgriež Būla vērtību TRUE, ja pārbaudāmā vērtība ir atsauce uz tukšu šūnu; pretējā gadījumā tiek atgriezta Būla vērtība FALSE. Katra no funkcijām Funkcijas tiek izmantoti, lai iegūtu informāciju par vērtību pirms aprēķina vai citas darbības ar to. Piemēram, lai veiktu citu darbību, kad rodas kļūda, varat izmantot funkciju KĻŪDA kombinācijā ar funkciju:

= JA IF(

KĻŪDA(A1); "Radās kļūda."; A1*2) kombinācijā ar funkcijuŠī formula pārbauda, ​​vai šūnā A1 nav kļūdu. Ja rodas kļūda, funkcija kombinācijā ar funkciju atgriež ziņojumu "Radās kļūda." Ja kļūdu nav, funkcija

aprēķina reizinājumu A1*2.

Sintakse

EMPTY(vērtība)

EOS (vērtība)

KĻŪDA(vērtība)

ELOGIC(vērtība)

UNM(vērtība)

TĪKLTEKSTS(vērtība)

ETEKSTS(vērtība) Katra no funkcijām funkcijas arguments

ir aprakstīti tālāk. Nepieciešamais arguments. Vērtība tiek pārbaudīta. Šī argumenta vērtība var būt tukša šūna, kļūdas vērtība, Būla vērtība, teksts, skaitlis, atsauce uz kādu no uzskaitītajiem objektiem vai šāda objekta nosaukums.

Funkcija	Atgriež TRUE, ja
	Vērtības arguments attiecas uz tukšu šūnu
	Vērtības arguments attiecas uz jebkuru kļūdas vērtību, kas nav #N/A
	Vērtības arguments attiecas uz jebkuru kļūdas vērtību (#N/A, #VALUE!, #REF!, #DIV/0!, #NUM!, #NAME? vai #EMPTY!)
	Vērtības arguments attiecas uz Būla vērtību
	Vērtības arguments attiecas uz #N/A kļūdas vērtību (vērtība nav pieejama)
ENETEKSTS	Vērtības arguments attiecas uz jebkuru elementu, kas nav teksts. (Ņemiet vērā, ka funkcija atgriež TRUE, ja arguments attiecas uz tukšu šūnu.)
	Vērtības arguments attiecas uz skaitli
	Vērtības arguments attiecas uz tekstu

Piezīmes

Argumenti funkcijās Katra no funkcijām nav konvertēti. Jebkuri skaitļi pēdiņās tiek uzskatīti par tekstu. Piemēram, lielākajā daļā citu funkciju, kurām nepieciešams skaitlisks arguments, teksta vērtība "19" tiek pārveidota par skaitli 19. Tomēr formulā ISNUMBER("19") šī vērtība netiek pārvērsta no teksta par skaitli, un funkcija ISNUMBER atgriež FALSE.

Funkciju izmantošana Katra no funkcijām Aprēķinu rezultātus ir ērti pārbaudīt formulās. Apvienojot šīs funkcijas ar funkciju kombinācijā ar funkciju, jūs varat atrast kļūdas formulās (skatiet piemērus tālāk).

Piemēri

1. piemērs

Kopējiet parauga datus no šīs tabulas un ielīmējiet tos jaunas Excel darblapas šūnā A1. Lai parādītu formulu rezultātus, atlasiet tās un nospiediet taustiņu F2, pēc tam nospiediet taustiņu Enter. Ja nepieciešams, mainiet kolonnu platumu, lai redzētu visus datus.

Kopējiet parauga datus no tālāk esošās tabulas un ielīmējiet tos jaunas Excel darblapas šūnā A1. Lai parādītu formulu rezultātus, atlasiet tās un nospiediet taustiņu F2, pēc tam nospiediet taustiņu Enter. Ja nepieciešams, mainiet kolonnu platumu, lai redzētu visus datus.

Dati
Formula	Apraksts	Rezultāts
TUKŠS(A2)	Pārbauda, ​​vai šūna C2 ir tukša
KĻŪDA (A4)	Pārbauda, ​​vai vērtība šūnā A4 (#REF!) ir kļūdas vērtība
	Pārbauda, ​​vai vērtība šūnā A4 (#REF!) ir kļūdas vērtība #N/A
	Pārbauda, ​​vai vērtība šūnā A6 (#N/A) ir kļūdas vērtība #N/A
	Pārbauda, ​​vai vērtība šūnā A6 (#N/A) ir kļūdas vērtība
ISNUMBER(A5)	Pārbauda, ​​vai vērtība šūnā A5 (330.92) ir skaitlis
ETEKSTS(A3)	Pārbauda, ​​vai vērtība šūnā A3 ("Reģions1") ir teksts

y (x) = e x, kuras atvasinājums ir vienāds ar pašu funkciju.

Eksponents ir apzīmēts kā , vai .

Numurs e

Eksponenta pakāpes pamats ir numurs e. Tas ir neracionāls skaitlis. Tas ir aptuveni vienāds
e ≈ 2,718281828459045...

Skaitlis e tiek noteikts, izmantojot secības robežu. Šis ir tā sauktais otrā brīnišķīgā robeža:
.

Skaitli e var attēlot arī kā sēriju:
.

Eksponenciālais grafiks

Eksponenciālais grafiks, y = e x .

Grafikā parādīts eksponents e līdz pakāpei X.
y (x) = e x
Grafikā redzams, ka eksponents palielinās monotoni.

Formulas

Pamatformulas ir tādas pašas kā eksponenciālajai funkcijai ar e pakāpes bāzi.

;
;
;

Eksponenciālas funkcijas ar patvaļīgu a pakāpes bāzi izteiksme caur eksponenciālu:
.

Privātās vērtības

Ļaujiet y (x) = e x.
.

Tad

Eksponentu īpašības e > 1 .

Eksponentam ir eksponenciālas funkcijas īpašības ar jaudas bāzi

Domēns, vērtību kopa (x) = e x Eksponents y
definēts visiem x.
- ∞ < x + ∞ .
Tās definīcijas joma:
0 < y < + ∞ .

Tās daudzās nozīmes:

Galējības, pieaug, samazinās

Eksponenciālais ir monotoni pieaugoša funkcija, tāpēc tai nav ekstrēmu. Tās galvenās īpašības ir parādītas tabulā.

Apgrieztā funkcija
;
.

Eksponenta apgrieztā vērtība ir naturālais logaritms.

Eksponenta atvasinājums e līdz pakāpei X Atvasinājums e līdz pakāpei X :
.
vienāds ar
.
N-tās kārtas atvasinājums:

Formulu atvasināšana >>>

Integrāls

Sarežģīti skaitļi Darbības ar kompleksajiem skaitļiem tiek veiktas, izmantojot:
,
Eilera formulas
.

kur ir iedomātā vienība:

; ;
.

Izteiksmes, izmantojot hiperboliskās funkcijas

; ;
;
.

Izteiksmes, izmantojot trigonometriskās funkcijas

Jaudas sērijas paplašināšana
Izmantotā literatūra: