Deși această legătură la prima vedere pare complet neevidentă (matematica științifică, s-ar părea, este una, iar economia și finanțele sunt cu totul alta), dar odată ce studiezi istoria „descoperirii” acestui număr, totul devine evident. De fapt, indiferent de modul în care științele sunt împărțite în diferite ramuri aparent neînrudite, paradigma generală va fi în continuare aceeași (în special, pentru societatea de consum - matematica „de consum”).

Să începem cu o definiție. e este baza logaritmului natural, o constantă matematică, un număr irațional și transcendental. Uneori, numărul e se numește numărul Euler sau numărul Napier. Notat cu litera latină minusculă „e”.

Deoarece funcția exponențială e^x este integrată și diferențiată „în sine”, logaritmii bazați pe baza e sunt acceptați ca naturali (deși chiar numele de „naturalitate” ar trebui să fie în mare îndoială, deoarece toată matematica se bazează în esență pe baza inventată artificial). cele, divorțate de principiile fictive ale naturii și deloc pe cele naturale).

Acest număr este uneori numit Nepier în onoarea savantului scoțian Napier, autor al lucrării „Descrierea tabelului uimitor al logaritmilor” (1614). Cu toate acestea, acest nume nu este în întregime corect, deoarece Napier nu a folosit în mod direct numărul în sine.

Constanta apare pentru prima dată tacit într-un apendice la traducerea în limba engleză a lucrării lui Napier menționată mai sus, publicată în 1618. În culise, deoarece conține doar un tabel de logaritmi naturali determinati din considerente CINEMATICE, dar constanta în sine nu este prezentă.

Constanta în sine a fost calculată pentru prima dată de matematicianul elvețian Bernoulli (conform versiunii oficiale din 1690) în timp ce rezolva problema valorii limită a VENITULUI DOBÂNZILOR. El a descoperit că, dacă suma inițială a fost de 1 USD (moneda este complet neimportantă) și a compus 100% pe an o dată la sfârșitul anului, suma finală ar fi de 2 USD. Dar dacă aceeași dobândă este compusă de două ori pe an, atunci 1 USD este înmulțit cu 1,5 de două ori, rezultând 1,00 USD x 1,5² = 2,25 USD. Dobânda compusă are ca rezultat trimestrial 1,00 USD x 1,254 = 2,44140625 USD și așa mai departe. Bernoulli a arătat că, dacă frecvența calculului dobânzii CREȘTE INFINIT, atunci venitul din dobânzi în cazul dobânzii compuse are o limită - iar această limită este egală cu 2,71828...

1,00 USD×(1+1/12)12 = 2,613035 USD...

$1,00×(1+1/365)365 = $2,714568… - în limită numărul e

Astfel, numărul e înseamnă de fapt din punct de vedere istoric PROFIT ANUAL maxim posibil la 100% pe an și frecvența maximă de capitalizare a dobânzii. Și ce legătură au legile Universului cu asta? Numărul e este unul dintre elementele de bază ale economiei monetare a dobânzii de împrumut într-o societate de consum, sub care încă de la început, chiar și la nivel filosofic mental, toată matematica folosită astăzi a fost ajustată și ascuțită de câteva secole. în urmă.

Prima utilizare cunoscută a acestei constante, unde era desemnată cu litera b, apare în scrisorile lui Leibniz către Huygens, 1690-1691.

Euler a început să folosească litera e în 1727, aceasta apare pentru prima dată într-o scrisoare a lui Euler către matematicianul german Goldbach din 25 noiembrie 1731, iar prima publicație cu această scrisoare a fost lucrarea sa „Mechanics, or the Science of Motion, Explained Analytically. ”, 1736. În consecință, e se numește de obicei numărul Euler. Deși unii savanți au folosit ulterior litera c, litera e a fost folosită mai des și este denumirea standard astăzi.

Nu se știe exact de ce a fost aleasă litera e. Poate că acest lucru se datorează faptului că cuvântul exponențial („indicativ”, „exponențial”) începe cu el. O altă sugestie este că literele a, b, c și d erau deja utilizate destul de comun în alte scopuri, iar e a fost prima literă „liberă”. De asemenea, este de remarcat faptul că litera e este prima literă din numele de familie Euler.

Dar, în orice caz, a spune că numărul e se referă cumva la legile universale ale Universului și ale naturii este pur și simplu absurd. Acest număr prin conceptul însuși a fost inițial legat de sistemul monetar de credit și financiar și, în special, prin acest număr (dar nu numai) ideologia sistemului de credit și financiar a influențat indirect formarea și dezvoltarea tuturor celorlalte matematici și prin aceasta. toate celelalte științe (la urma urmei, fără excepție, știința calculează ceva folosind regulile și abordările matematicii). Numărul e joacă un rol important în calculul diferențial și integral, care prin el este de fapt legat și de ideologia și filozofia maximizării veniturilor din dobânzi (s-ar putea spune chiar că este conectat subconștient). Cum este legat logaritmul natural? Stabilirea e ca o constantă (împreună cu orice altceva) a condus la formarea unor conexiuni implicite în gândire, conform cărora toată matematica existentă pur și simplu nu poate exista izolată de sistemul monetar! Și în această lumină, nu este deloc surprinzător că vechii slavi (și nu numai ei) s-au descurcat perfect fără constante, numere iraționale și transcendentale și chiar fără numere și numere în general (literele au acționat ca numere în antichitate), logică diferită, gândire diferită în sistem în absența banilor (și, prin urmare, tot ceea ce este legat de ei) face ca toate cele de mai sus pur și simplu inutile.

DEFINIŢIE

Număr este o constantă matematică irațională și transcendentală numită numărul lui Euler sau Numărul Napier, care este baza logaritmului natural.

În culise constantă este prezentă în lucrarea „Description of the Amazing Table of Logarithms” a matematicianului scoțian John Napier (1550-1617) (mai precis, în anexa la traducerea acestei lucrări, care a fost publicată în 1618). Prima mențiune a acestei constante este în scrisorile filosofului, logician, matematician, mecanic, fizician, avocat, istoric, diplomat, inventator și lingvist saxon Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) către mecanicul, fizicianul, matematicianul, astronomul olandez. și inventatorul Christian Huyngens van Zuilichem (1629-1695) în 1690-91. Acolo a fost desemnat prin scrisoare . Denumirea tradițională în 1727 matematicianul și mecanicul elvețian, german, rus Leonhard Euler (1707-1783) a început să-l folosească; l-a folosit pentru prima dată în scrisoarea sa către matematicianul german Christian Goldbach (1690-1764) în 1731. Prima publicație cu această scrisoare a fost lucrarea lui L. Euler „Mechanics, or the Science of Motion, Explained Analytically” (1736). Constanta în sine a fost calculată pentru prima dată de matematicianul elvețian Jacob Bernoulli (1655-1705) în timp ce rezolva problema valorii limită a veniturilor din dobânzi:

Numărul joacă un rol important în diferite ramuri ale matematicii, și mai ales în calculul diferențial și integral. Transcendența numărului lui Euler a fost dovedită de matematicianul francez Charles Hermite (1822-1901) abia în 1873.

Număr e sarcini

1) Prin limita:

2,7182818284590452353602874713527… hexazecimal 2,B7E151628AED2A6A… sexagesimal 2; 43 05 48 52 29 48 35 … Aproximații raționale 8 / 3 ; 11 / 4 ; 19 / 7 ; 87 / 32 ; 106 / 39 ; 193 / 71 ; 1264 / 465 ; 2721 / 1001 ; 23225 / 8544

(afisate in ordinea cresterii preciziei)

Fracție continuă

Metode de determinare

Număr e poate fi definită în mai multe moduri.

• Peste limita: e = lim x → ∞ (1 + 1 x) x (\displaystyle e=\lim _(x\la \infty)\left(1+(\frac (1)(x))\right)^(x) )(a doua limită remarcabilă). e = lim n → ∞ n n !}}} !} n (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty)(\frac (n)(\sqrt[(n)](n)
• (asta decurge din formula Moivre-Stirling). Ca suma seriei:}} !} e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! (\displaystyle e=\sum _(n=0)^(\infty )(\frac (1)(n}} !}.
• sau 1 e = ∑ n = 2 ∞ (− 1) n n !(\displaystyle (\frac (1)(e))=\sum _(n=2)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n Ca singular
• a (\displaystyle a) 1 e = ∑ n = 2 ∞ (− 1) n n !, pentru care ∫ 1 a d x x = 1. (\displaystyle \int \limits _(1)^(a)(\frac (dx)(x))=1.)

Ca singur număr pozitiv

, pentru care este adevărat

d d x a x = a x . (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Proprietăți Dovada de iraționalitate Să presupunem că e (\displaystyle e) raţional. Apoi e = p / q (\displaystyle e=p/q), Unde p (\displaystyle p) - întreg, și q (\displaystyle q) - naturală. !} Prin urmare p = e q (\displaystyle p=eq)=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}} !} Înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu (q − 1) !} !}(\displaystyle (q-1) , primim=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}} !} Toți termenii din partea dreaptă sunt numere întregi, prin urmare suma din partea stângă este întreg. Dar această sumă este și pozitivă, ceea ce înseamnă că nu este mai mică de 1. Pe de alta parte, ∑ n = q + 1 ∞ q !< ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) m {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}} n! = ∑ m = 1 ∞ q !< 1 q {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}} (q + m) ! = ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) ., = ∑ m = 1 ∞ q !< 1 {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1} .

• Număr (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).). (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)(q + m)
• Însumând progresia geometrică din partea dreaptă, obținem: (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)∑ n = q + 1 ∞ q !
• Număr e n!
• Din moment ce q ≥ 1 (\displaystyle q\geq 1)
• Primim o contradicție. (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) transcendental. Acest lucru a fost dovedit pentru prima dată în 1873 de Charles Hermite. Transcendența numărului rezultă din teorema lui Lindemann. Se presupune că - număr normal, adică frecvența de apariție a diferitelor cifre în notația sa este aceeași. În prezent (2017) această ipoteză nu a fost dovedită.
• este un număr calculabil (și deci aritmetic). e i x = cos ⁡ (x) + i ⋅ sin ⁡ (x) (\displaystyle e^(ix)=\cos(x)+i\cdot \sin(x)), vezi formula lui Euler, în special Formula care leagă numerele}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.} !}
• Număr eŞi π (\displaystyle \pi ), așa-zis Integrală Poisson sau integrală Gauss ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π (\displaystyle \int \limits _(-\infty )^(\infty )\ e^(-x^(2))(dx)=(\sqrt (\pi) )))
• Pentru orice număr complex z
• sunt adevărate următoarele egalități: e z = ∑ n = 0 ∞ 1 n !
• e = lim n → ∞ n n !}}.} !}
• n. (\displaystyle e=\lim _(n\to\infty)(\frac (n)(\sqrt[(n)](n)
• Reprezentarea limbii catalane: e = 2 ⋅ 4 3 ⋅ 6 ⋅ 8 5 ⋅ 7 4 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 16 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 8 ⋅ 20 ⋅ 20 ⋅ 18 ⋅ 18 ⋅ 18 ⋅ ⋅ 28 ⋅ 30 ⋅ 32 17 ⋅ 19 ⋅ 21 ⋅ 23 ⋅ 25 ⋅ 27 ⋅ 29 ⋅ 31 16 ⋯ (\displaystyle e=2\cdot (\sqrt (\frac (4)(3)))\cdot (\sqrt[(4)](\frac (6) \cdot 8)(5\cdot 7)))\cdot (\sqrt[(8)](\frac (10\cdot 12\cdot 14\cdot 16)(9\cdot 11\cdot 13\cdot 15)) )\cdot (\sqrt[(16)](\frac (18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32)(17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\ cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31)))\cdots )
• Reprezentarea prin lucrare:

e = 3 ⋅ ∏ k = 1 ∞ (2 k + 3) k + 1 2 (2 k − 1) k − 1 2 (2 k + 1) 2 k (\displaystyle e=(\sqrt (3))\ cdot \prod \limits _(k=1)^(\infty )(\frac (\left(2k+3\right)^(k+(\frac (1)(2)))\left(2k-1\ dreapta)^(k-(\frac (1)(2))))(\stanga(2k+1\dreapta)^(2k))))}} !}

Prin numerele Bell

E = 1 B n ∑ k = 0 ∞ k n k ! (\displaystyle e=(\frac (1)(B_(n)))\sum _(k=0)^(\infty )(\frac (k^(n))(k Poveste Acest număr este uneori numit fără pene în onoarea savantului scoțian Napier, autor al lucrării „Descrierea uimitoarei tabele a logaritmilor” (1614). Cu toate acestea, acest nume nu este în întregime corect, deoarece are un logaritm al numărului.

x (\displaystyle x)

a fost egal 10 7 ⋅ log 1 / e ⁡ (x 10 7) (\displaystyle 10^(7)\cdot \,\log _(1/e)\left((\frac (x)(10^(7))) \corect)) Constanta apare pentru prima dată tacit într-un apendice la traducerea în limba engleză a lucrării lui Napier menționată mai sus, publicată în 1618. În culise, deoarece conține doar un tabel de logaritmi naturali determinati din considerente cinematice, dar constanta în sine nu este prezentă. Constanta în sine a fost calculată pentru prima dată de matematicianul elvețian Jacob Bernoulli în timp ce rezolva problema valorii limită a veniturilor din dobânzi. El a descoperit că dacă suma inițială$ 1 (\displaystyle \$1) 10 7 ⋅ log 1 / e ⁡ (x 10 7) (\displaystyle 10^(7)\cdot \,\log _(1/e)\left((\frac (x)(10^(7))) \corect)) si se calculeaza anual o data la sfarsitul anului, atunci suma totala va fi $ 2 (\displaystyle \$2). Dar dacă aceeași dobândă este calculată de două ori pe an, atunci inmultit cu 1 , 5 (\displaystyle 1(,)5) de două ori, primind, și așa mai departe. Bernoulli a arătat că, dacă frecvența calculelor dobânzii este crescută la nesfârșit, atunci venitul din dobânzi în cazul dobânzii compuse are o limită: lim n → ∞ (1 + 1 n) n .(\displaystyle \lim _(n\la \infty)\left(1+(\frac (1)(n))\right)^(n).) iar această limită este egală cu numărul.

e (≈ 2,718 28) (\displaystyle e~(\aprox 2(,)71828))

$ 1, 00 ⋅ (1 + 1 12) 12 = $ 2.613.035... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (\frac (1)(12))\right)^( 12 )=\$2(,)613035...)

$ 1, 00 ⋅ (1 + 1.365) 365 = $ 2.714.568... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(365))\right)^( 365) =\$2(,)714568...) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Deci constanta înseamnă profitul anual maxim posibil la 100% (\displaystyle 100\%)

pe an și frecvența maximă de capitalizare a dobânzii. Prima utilizare cunoscută a acestei constante, unde a fost indicată prin literă b (\displaystyle b)

, găsit în scrisorile lui Leibniz către Huygens, -1691. (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Scrisoare (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Euler a început să-l folosească în 1727, se găsește pentru prima dată într-o scrisoare a lui Euler către matematicianul german Goldbach din 25 noiembrie 1731, iar prima publicație cu această scrisoare a fost lucrarea sa „Mechanics, or the Science of Motion, Explained Analytically”. 1736. Respectiv, numărul lui Euler numit de obicei . Deși unii oameni de știință au folosit ulterior scrisoarea c (\displaystyle c) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).), lit

a fost folosit mai des și este acum denumirea standard. Fiecare dintre funcții E testează valoarea specificată și returnează TRUE sau FALSE în funcție de rezultat. De exemplu, funcția GOL

returnează valoarea booleană TRUE dacă valoarea testată este o referință la o celulă goală; în caz contrar, este returnată valoarea booleană FALSE. Fiecare dintre funcții Funcții sunt folosite pentru a obține informații despre o valoare înainte de a efectua un calcul sau o altă acțiune asupra acesteia. De exemplu, pentru a efectua o acțiune diferită atunci când apare o eroare, puteți utiliza funcția EROARE în combinație cu funcția:

= DACĂ DACĂ(

EROARE(A1); „A apărut o eroare.”; A1*2) în combinație cu funcția Această formulă verifică o eroare în celula A1. Când apare o eroare, funcția în combinație cu funcția returnează mesajul „A apărut o eroare”. Dacă nu există erori, funcția

calculează produsul A1*2.

Sintaxă

EMPTY(valoare)

EOS(valoare)

EROARE(valoare)

ELOGIC(valoare)

UNM(valoare)

NETTEXT(valoare)

ETEXT(valoare) Fiecare dintre funcții argumentul funcției

sunt descrise mai jos. Argument necesar. Valoarea care se verifică. Valoarea acestui argument poate fi o celulă goală, o valoare de eroare, o valoare booleană, text, un număr, o referință la oricare dintre obiectele listate sau numele unui astfel de obiect.

Funcţie	Returnează TRUE dacă
	Argumentul valoare se referă la o celulă goală
	Argumentul valoare se referă la orice valoare de eroare, alta decât #N/A
	Argumentul valoare se referă la orice valoare de eroare (#N/A, #VALUE!, #REF!, #DIV/0!, #NUM!, #NUME? sau #GOL!)
	Argumentul valoare se referă la o valoare booleană
	Argumentul valoare se referă la valoarea de eroare #N/A (valoarea nu este disponibilă)
ENETEXT	Argumentul valoare se referă la orice element care nu este text. (Rețineți că funcția returnează TRUE dacă argumentul se referă la o celulă goală.)
	Argumentul valoare se referă la un număr
	Argumentul valoare se referă la text

Note

Argumente în funcții Fiecare dintre funcții nu sunt convertite. Orice numere cuprinse între ghilimele sunt tratate ca text. De exemplu, în majoritatea celorlalte funcții care necesită un argument numeric, valoarea textului „19” este convertită la numărul 19. Cu toate acestea, în formula ISNUMBER("19") această valoare nu este convertită din text în număr, iar funcția ISNUMBER returnează FALSE.

Utilizarea funcțiilor Fiecare dintre funcții Este convenabil să verificați rezultatele calculelor în formule. Combinând aceste caracteristici cu funcția în combinație cu funcția, puteți găsi erori în formule (vezi exemplele de mai jos).

Exemple

Exemplul 1

Copiați eșantionul de date din următorul tabel și inserați-l în celula A1 a unei noi foi de lucru Excel. Pentru a afișa rezultatele formulelor, selectați-le și apăsați F2, apoi apăsați Enter. Dacă este necesar, modificați lățimea coloanelor pentru a vedea toate datele.

Copiați eșantionul de date din tabelul de mai jos și inserați-l în celula A1 a unei noi foi de lucru Excel. Pentru a afișa rezultatele formulelor, selectați-le și apăsați F2, apoi apăsați Enter. Dacă este necesar, modificați lățimea coloanelor pentru a vedea toate datele.

Date
Formula	Descriere	Rezultat
GOL (A2)	Verifică dacă celula C2 este goală
EROARE (A4)	Verifică dacă valoarea din celula A4 (#REF!) este o valoare de eroare
	Verifică dacă valoarea din celula A4 (#REF!) este valoarea de eroare #N/A
	Verifică dacă valoarea din celula A6 (#N/A) este valoarea de eroare #N/A
	Verifică dacă valoarea din celula A6 (#N/A) este o valoare de eroare
ISNUMBER(A5)	Testează dacă valoarea din celula A5 (330,92) este un număr
ETEXT(A3)	Verifică dacă valoarea din celula A3 ("Region1") este text

y (x) = e x, a cărei derivată este egală cu funcția însăși.

Exponentul este notat ca , sau .

Numărul e

Baza gradului de exponent este numărul e. Acesta este un număr irațional. Este aproximativ egal
e ≈ 2,718281828459045...

Numărul e este determinat prin limita secvenței. Acesta este așa-numitul a doua limită minunată:
.

Numărul e poate fi reprezentat și ca o serie:
.

Graficul exponențial

Grafic exponențial, y = e x .

Graficul arată exponentul eîntr-o măsură X.
y (x) = e x
Graficul arată că exponentul crește monoton.

Formule

Formulele de bază sunt aceleași ca pentru funcția exponențială cu o bază de gradul e.

;
;
;

Exprimarea unei funcții exponențiale cu o bază arbitrară de gradul a printr-o exponențială:
.

Valori private

Lasă y (x) = e x.
.

Apoi

Proprietățile exponentului e > 1 .

Exponentul are proprietățile unei funcții exponențiale cu o bază de putere

Domeniu, set de valori (x) = e x Exponentul y
definit pentru toate x.
- ∞ < x + ∞ .
Domeniul său de definiție:
0 < y < + ∞ .

Multele sale semnificații:

Extreme, în creștere, în scădere

Exponențialul este o funcție crescătoare monoton, deci nu are extreme. Principalele sale proprietăți sunt prezentate în tabel.

Funcția inversă
;
.

Inversa exponentului este logaritmul natural.

Derivată a exponentului eîntr-o măsură X Derivat eîntr-o măsură X :
.
egal cu
.
Derivată de ordin al n-lea:

Derivarea formulelor > > >

Integral

Numerele complexe Operațiile cu numere complexe se efectuează folosind:
,
formulele lui Euler
.

unde este unitatea imaginară:

; ;
.

Expresii prin funcții hiperbolice

; ;
;
.

Expresii folosind funcții trigonometrice

Extinderea seriei de putere
Literatura folosita: