Her ne kadar bu bağlantı ilk bakışta tamamen açık görünse de (görünüşe göre bilimsel matematik başka bir şeydir, ekonomi ve finans ise tamamen başka bir şeydir), ancak bu sayının "keşfedilmesinin" tarihini incelediğinizde her şey açıklığa kavuşur. Aslında, bilimler görünüşte ilgisiz farklı dallara nasıl bölünmüş olursa olsun, genel paradigma hala aynı olacaktır (özellikle tüketim toplumu için - "tüketici" matematiği).

Bir tanımla başlayalım. e, doğal logaritmanın tabanı, matematiksel bir sabit, irrasyonel ve aşkın bir sayıdır. Bazen e sayısına Euler numarası veya Napier numarası denir. Küçük Latin harfi “e” ile gösterilir.

e^x üstel fonksiyonu "kendi içine" entegre edildiği ve farklılaştığı için, e tabanına dayalı logaritmalar doğal olarak kabul edilir ("doğallığın" adı büyük şüpheye düşse de, çünkü tüm matematik esasen yapay olarak icat edilenlere dayanmaktadır). Doğanın hayali ilkelerinden ayrılmış ve hiç de doğal ilkelere bağlı olmayanlar).

Bu sayıya bazen “İnanılmaz Logaritma Tablosunun Açıklaması” (1614) adlı eserin yazarı İskoç bilim adamı Napier'in onuruna Nepier adı verilir. Ancak Napier doğrudan numarayı kullanmadığı için bu isim tamamen doğru değil.

Sabit ilk olarak Napier'in yukarıda sözü edilen eserinin 1618'de yayınlanan İngilizce çevirisinin ekinde üstü kapalı olarak görünmektedir. Perde arkasında, çünkü yalnızca KINEMATIC değerlendirmelerine göre belirlenen doğal logaritmaların bir tablosunu içerir, ancak sabitin kendisi mevcut değildir.

Sabitin kendisi ilk olarak İsviçreli matematikçi Bernoulli tarafından (1690'daki resmi versiyona göre) FAİZ GELİRİNİN sınır değeri problemini çözerken hesaplandı. Orijinal tutar 1 dolar olsaydı (para birimi tamamen önemsizdi) ve yıl sonunda yıllık %100 bileşikleştirilirse nihai tutarın 2 dolar olacağını buldu. Ancak aynı faiz yılda iki kez bileşik hale getirilirse, 1 ABD Doları iki kez 1,5 ile çarpılır ve sonuçta 1,00 ABD Doları x 1,5² = 2,25 ABD Doları elde edilir. Üç aylık bileşik faiz 1,00 ABD Doları x 1,254 = 2,44140625 ABD Doları vb. ile sonuçlanır. Bernoulli, faiz hesaplama sıklığının sonsuza kadar artması durumunda, bileşik faiz durumunda faiz gelirinin bir sınırı olduğunu ve bu sınırın 2,71828'e eşit olduğunu gösterdi...

1,00$×(1+1/12)12 = 2,613035$…

$1,00×(1+1/365)365 = $2,714568… - e sayısı limitinde

Dolayısıyla, e sayısı aslında tarihsel olarak yıllık %100 oranında mümkün olan maksimum YILLIK KÂR ve faiz kapitalizasyonunun maksimum sıklığı anlamına gelir. Peki Evrenin yasalarının bununla ne ilgisi var? E sayısı, bir tüketim toplumunda kredi faizinin parasal ekonomisinin temelindeki önemli yapı taşlarından biridir; bunun altında, en başından beri, zihinsel felsefi düzeyde bile, bugün kullanılan tüm matematik birkaç yüzyıl boyunca ayarlandı ve keskinleştirildi. evvel.

B harfiyle gösterilen bu sabitin bilinen ilk kullanımı, Leibniz'in Huygens'e yazdığı 1690-1691 mektuplarında görülür.

Euler, e harfini 1727 yılında kullanmaya başlamıştır, ilk kez Euler'in Alman matematikçi Goldbach'a yazdığı 25 Kasım 1731 tarihli bir mektupta karşımıza çıkmaktadır ve bu mektupla birlikte ilk yayın onun “Mekanik veya Hareket Bilimi, Analitik Olarak Açıklandı” adlı eseri olmuştur. ”1736. Buna göre e'ye genellikle Euler sayısı denir. Daha sonra bazı bilim adamları c harfini kullansa da, e harfi daha sık kullanıldı ve bugün standart isimdir.

Neden e harfinin seçildiği tam olarak bilinmiyor. Belki de bu, üstel (“gösterge”, “üstel”) kelimesinin onunla başlamasından kaynaklanmaktadır. Bir diğer öneri ise a, b, c ve d harflerinin zaten başka amaçlarla oldukça yaygın olarak kullanıldığı ve e'nin ilk "serbest" harf olduğudur. Ayrıca e harfinin Euler soyadının ilk harfi olması da dikkat çekiyor.

Ancak her durumda, e sayısının bir şekilde Evrenin ve doğanın evrensel yasalarıyla ilgili olduğunu söylemek saçmadır. Bu sayı, kavramın kendisi tarafından başlangıçta kredi ve finansal para sistemine bağlıydı ve özellikle bu sayı aracılığıyla (ancak sadece bu değil) kredi ve finansal sistemin ideolojisi, diğer tüm matematiğin oluşumunu ve gelişimini dolaylı olarak etkiledi ve bu sayı aracılığıyla diğer tüm bilimler (sonuçta bilim, istisnasız, matematiğin kurallarını ve yaklaşımlarını kullanarak bir şeyler hesaplar). E sayısı, diferansiyel ve integral hesapta önemli bir rol oynar ve bu sayede aslında faiz gelirini maksimuma çıkarma ideolojisi ve felsefesiyle de bağlantılıdır (hatta bilinçaltıyla bağlantılı olduğu bile söylenebilir). Doğal logaritma nasıl ilişkilidir? E'yi bir sabit olarak belirlemek (diğer her şeyle birlikte), düşüncede örtülü bağlantıların oluşmasına yol açtı; buna göre, mevcut tüm matematik, parasal sistemden ayrı olarak var olamaz! Ve bu açıdan bakıldığında, eski Slavların (ve sadece onların değil) sabitler, irrasyonel ve aşkın sayılar olmadan ve hatta genel olarak sayılar ve sayılar olmadan (harfler eski zamanlarda sayı görevi görüyordu) mükemmel bir şekilde başarılı olmaları hiç de şaşırtıcı değil. paranın yokluğunda sistemde farklı mantık, farklı düşünme (ve dolayısıyla onunla bağlantılı her şey), yukarıdakilerin hepsini tamamen gereksiz kılar.

TANIM

Sayı olarak adlandırılan irrasyonel ve aşkın bir matematik sabitidir. Euler numarası veya Napier numarası doğal logaritmanın tabanıdır.

Perde arkasında sürekli İskoç matematikçi John Napier'in (1550-1617) “İnanılmaz Logaritma Tablosunun Açıklaması” adlı çalışmasında (daha doğrusu, 1618'de yayınlanan bu eserin çevirisinin ekinde) mevcuttur. Bu sabitin ilk sözü Sakson filozof, mantıkçı, matematikçi, tamirci, fizikçi, avukat, tarihçi, diplomat, mucit ve dilbilimci Gottfried Wilhelm Leibniz'in (1646-1716) Hollandalı tamirci, fizikçi, matematikçi, astronoma yazdığı mektuplarda geçmektedir. ve mucit Christian Huyngens van Zuilichem (1629-1695), 1690-91'de. Orada mektupla belirtildi. Geleneksel tanım 1727'de İsviçreli, Alman, Rus matematikçi ve tamirci Leonhard Euler (1707-1783) onu kullanmaya başladı; bunu ilk kez 1731 yılında Alman matematikçi Christian Goldbach'a (1690-1764) yazdığı mektubunda kullanmıştır. Bu mektubun yer aldığı ilk yayın L. Euler'in “Mekanik veya Hareket Bilimi, Analitik Olarak Açıklandı” (1736) adlı eseridir. Sabitin kendisi ilk olarak İsviçreli matematikçi Jacob Bernoulli (1655-1705) tarafından faiz gelirinin sınır değeri problemini çözerken hesaplandı:

Sayı, matematiğin çeşitli dallarında ve özellikle diferansiyel ve integral hesabında önemli bir rol oynar. Euler sayısının aşkınlığı Fransız matematikçi Charles Hermite (1822-1901) tarafından ancak 1873'te kanıtlandı.

Numara e görevleri

1) Limit aracılığıyla:

2,7182818284590452353602874713527… Onaltılık 2,B7E151628AED2A6A… altmışlık 2; 43 05 48 52 29 48 35 … Rasyonel yaklaşımlar 8 / 3 ; 11 / 4 ; 19 / 7 ; 87 / 32 ; 106 / 39 ; 193 / 71 ; 1264 / 465 ; 2721 / 1001 ; 23225 / 8544

(artan doğruluk sırasına göre listelenmiştir)

Devam eden kesir

Belirleme yöntemleri

Sayı e birkaç şekilde tanımlanabilir.

• Sınırın aşılması: e = lim x → ∞ (1 + 1 x) x (\displaystyle e=\lim _(x\to \infty )\left(1+(\frac (1)(x))\right)^(x) )(ikinci dikkate değer sınır). e = lim n → ∞ n n !}}} !} n (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n
• (bu Moivre-Stirling formülünden gelir). Serinin toplamı olarak:}} !} e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! (\displaystyle e=\toplam _(n=0)^(\infty )(\frac (1)(n}} !}.
• veya 1 e = ∑ n = 2 ∞ (− 1) n n !(\displaystyle (\frac (1)(e))=\toplam _(n=2)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n Tekil olarak
• a (\displaystyle a) 1 e = ∑ n = 2 ∞ (− 1) n n !, bunun için ∫ 1 a d x x = 1. (\displaystyle \int \limits _(1)^(a)(\frac (dx)(x))=1.)

Tek pozitif sayı olarak

, bunun için doğru

d d x a x = a x . (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)Özellikler Mantıksızlığın kanıtı Diyelim ki e (\displaystyle e) akılcı. Daha sonra e = p / q (\displaystyle e=p/q), Nerede p (\displaystyle p) - bütün ve q (\displaystyle q) - doğal. !} Buradan p = e q (\displaystyle p=eq)=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}} !} Denklemin her iki tarafının çarpılması (q - 1) !} !}(\displaystyle (q-1) , alıyoruz=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}} !} Sağ taraftaki tüm terimler tam sayı olduğundan sol taraftaki toplamlar tam sayıdır. Ancak bu toplam da pozitiftir, yani 1'den az değildir. Diğer tarafta, ∑ n = q + 1 ∞ q !< ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) m {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}} N! = ∑m = 1 ∞q ! (q + m) !< 1 q {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}} = ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) . ., (q + m) !< 1 {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1} .

• Sayı (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)(q + m) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Sağ taraftaki geometrik ilerlemeyi topladığımızda şunu elde ederiz:
• ∑ n = q + 1 ∞ q ! (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) N!
• Sayı eÇünkü
• q ≥ 1 (\displaystyle q\geq 1) Bir çelişkiyle karşılaşıyoruz.
• transandantal. Bu ilk kez 1873'te Charles Hermite tarafından kanıtlandı. Sayının aşkınlığı (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Lindemann teoremini takip eder. Öyle varsayılıyor- normal sayı, yani notasyonunda farklı rakamların görünme sıklığı aynıdır. Şu anda (2017) bu hipotez kanıtlanmamıştır. hesaplanabilir (ve dolayısıyla aritmetik) bir sayıdır.
• e ben x = çünkü ⁡ (x) + ben ⋅ günah ⁡ (x) (\displaystyle e^(ix)=\cos(x)+i\cdot \sin(x)) , özellikle Euler formülüne bakın Numaraları bağlayan formül Ve}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.} !}
• Sayı eπ (\displaystyle \pi ) , sözde Poisson integrali veya Gauss integrali∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π (\displaystyle \int \limits _(-\infty )^(\infty )\ e^(-x^(2))(dx)=(\sqrt (\pi ))) Herhangi bir karmaşık sayı için
• z aşağıdaki eşitlikler doğrudur:
• e z = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! z n = lim n → ∞ (1 + z n) n .
• e = lim n → ∞ n n !}}.} !}
• N. (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n Katalanca Temsili:
• e = 2 ⋅ 4 3 ⋅ 6 ⋅ 8 5 ⋅ 7 4 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 16 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 8 ⋅ 18 ⋅ 20 ⋅ 22 ⋅ 24 ⋅ 26 ⋅ 28 ⋅ 30 ⋅ 32 17 ⋅ 19 ⋅ 21 ⋅ 23 ⋅ 25 ⋅ 27 ⋅ 29 ⋅ 31 16 ⋯ (\displaystyle e=2\cdot (\sqrt (\frac (4)(3)))\cdot (\sqrt[(4)](\frac (6) \cdot 8)(5\cdot 7))\cdot (\sqrt[(8)](\frac (10\cdot 12\cdot 14\cdot 16)(9\cdot 11\cdot 13\cdot 15)) )\cdot (\sqrt[(16)](\frac (18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32)(17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\ cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31)))\cdots ) Eser yoluyla temsil:
• e = 3 ⋅ ∏ k = 1 ∞ (2 k + 3) k + 1 2 (2 k − 1) k − 1 2 (2 k + 1) 2 k (\displaystyle e=(\sqrt (3))\ cdot \prod \limits _(k=1)^(\infty )(\frac (\left(2k+3\right)^(k+(\frac (1)(2)))\left(2k-1\ sağ)^(k-(\frac (1)(2))))(\left(2k+1\right)^(2k))))

Bell sayıları aracılığıyla}} !}

E = 1 B n ∑ k = 0 ∞ k n k !

(\displaystyle e=(\frac (1)(B_(n)))\sum _(k=0)^(\infty )(\frac (k^(n))(k Hikaye Bu numara bazen aranır tüysüz“İnanılmaz Logaritma Tablosunun Açıklaması” (1614) adlı eserin yazarı İskoç bilim adamı Napier'in onuruna. Ancak bu isim tam olarak doğru değil çünkü sayının logaritması var. x (\displaystyle x).

eşitti

10 7 ⋅ log 1 / e ⁡ (x 10 7) (\displaystyle 10^(7)\cdot \,\log _(1/e)\left((\frac (x)(10^(7))) \Sağ)) Sabit ilk olarak Napier'in yukarıda sözü edilen eserinin 1618'de yayınlanan İngilizce çevirisinin ekinde üstü kapalı olarak görünmektedir. Perde arkasında, çünkü yalnızca kinematik değerlendirmelere göre belirlenen doğal logaritmaların bir tablosunu içerir, ancak sabitin kendisi mevcut değildir. Sabitin kendisi ilk olarak İsviçreli matematikçi Jacob Bernoulli tarafından faiz gelirinin sınır değeri problemini çözerken hesaplandı. Orijinal miktarın 1 $ (\displaystyle \$1) yıllık olarak yıl sonunda bir kez hesaplanır ve toplam tutar Sabit ilk olarak Napier'in yukarıda sözü edilen eserinin 1618'de yayınlanan İngilizce çevirisinin ekinde üstü kapalı olarak görünmektedir. Perde arkasında, çünkü yalnızca kinematik değerlendirmelere göre belirlenen doğal logaritmaların bir tablosunu içerir, ancak sabitin kendisi mevcut değildir. 2 $ (\displaystyle \$2) . Ancak aynı faiz yılda iki kez hesaplanırsa, o zaman ile çarpıldı 1 , 5 (\displaystyle 1(,)5) iki kez, alıyorum 1 TL, 00 ⋅ 1, 5 2 = 2 TL, 25 (\displaystyle \$1(,)00\cdot 1(,)5^(2)=\$2(,)25), ve benzeri. Bernoulli, faiz hesaplamalarının sıklığı süresiz olarak artırılırsa, bileşik faiz durumunda faiz gelirinin bir sınırı olduğunu gösterdi: lim n → ∞ (1 + 1 n) n .(\displaystyle \lim _(n\to \infty )\left(1+(\frac (1)(n))\right)^(n).) ve bu limit sayıya eşittir.

e (≈ 2,718 28) (\displaystyle e~(\yaklaşık 2(,)71828))

1 $, 00 ⋅ (1 + 1 12) 12 = 2.613.035 $... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(12))\right)^( 12 )=\$2(,)613035...)

1 $, 00 ⋅ (1 + 1,365) 365 = 2,714,568 $... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(365))\right)^( 365) =\$2(,)714568...) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Yani sabit mümkün olan maksimum yıllık kâr anlamına gelir%100 (\displaystyle 100\%)

yıllık ve maksimum faiz kapitalizasyon sıklığı. Harfle gösterilen bu sabitin bilinen ilk kullanımı b (\displaystyle b)

, Leibniz'in Huygens'e yazdığı mektuplarda bulunur, -1691. (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Mektup (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).) Euler bunu 1727'de kullanmaya başladı, ilk olarak Euler'in Alman matematikçi Goldbach'a yazdığı 25 Kasım 1731 tarihli bir mektupta bulunur ve bu mektubun yer aldığı ilk yayın onun "Mekanik veya Hareket Bilimi, Analitik Olarak Açıklandı" adlı çalışmasıydı. 1736. Sırasıyla, Euler numarası genellikle denir . Her ne kadar bazı bilim adamları daha sonra bu mektubu kullansa da c (\displaystyle c) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).), mektup

daha sık kullanıldı ve artık standart isimdir. Fonksiyonların her biri e belirtilen değeri test eder ve sonuca bağlı olarak DOĞRU veya YANLIŞ değerini döndürür. Örneğin, fonksiyon BOŞ

test edilen değer boş bir hücreye referans ise TRUE boolean değerini döndürür; aksi takdirde FALSE boole değeri döndürülür. Fonksiyonların her biri Fonksiyonlar Bir değer üzerinde bir hesaplama veya başka bir eylem gerçekleştirmeden önce bir değer hakkında bilgi edinmek için kullanılır. Örneğin, bir hata oluştuğunda farklı bir eylem gerçekleştirmek için işlevi kullanabilirsiniz. HATA fonksiyonla birlikte:

= EĞER EĞER(

HATA(A1); "Bir hata oluştu."; A1*2) fonksiyonla birlikte Bu formül A1 hücresindeki hatayı kontrol eder. Bir hata oluştuğunda fonksiyon fonksiyonla birlikte"Bir hata oluştu" mesajını döndürür. Herhangi bir hata yoksa fonksiyon

A1*2 çarpımını hesaplar.

Sözdizimi

BOŞ(değer)

EOS(değer)

HATA(değer)

ELOGİK(değer)

UNM(değer)

NETMETİN(değer)

ETEXT(değer) Fonksiyonların her biri fonksiyon argümanı

aşağıda anlatılmıştır. Gerekli argüman. Değer kontrol ediliyor. Bu bağımsız değişkenin değeri boş bir hücre, bir hata değeri, bir Boolean değeri, metin, bir sayı, listelenen nesnelerden herhangi birine bir başvuru veya böyle bir nesnenin adı olabilir.

İşlev	Eğer TRUE değerini döndürür
	Değer argümanı boş bir hücreye başvuruyor
	Değer bağımsız değişkeni #N/A dışında herhangi bir hata değerini ifade eder
	Değer bağımsız değişkeni herhangi bir hata değerine atıfta bulunur (#YOK, #DEĞER!, #BAŞV!, #BÖL/0!, #SAYI!, #AD? veya #BOŞ!)
	Değer argümanı bir boole değerini ifade eder
	Değer bağımsız değişkeni #YOK hata değerini ifade eder (değer mevcut değil)
ENETEKT	Değer argümanı metin olmayan herhangi bir öğeyi ifade eder. (Argüman boş bir hücreye başvuruyorsa işlevin TRUE değerini döndürdüğünü unutmayın.)
	Değer argümanı bir sayıyı ifade eder
	Değer argümanı metne atıfta bulunur

Notlar

Fonksiyonlardaki argümanlar Fonksiyonların her biri dönüştürülmez. Tırnak işaretleri içine alınmış tüm sayılar metin olarak kabul edilir. Örneğin, sayısal bir bağımsız değişken gerektiren diğer işlevlerin çoğunda, "19" metin değeri 19 sayısına dönüştürülür. Ancak formülde ISNUMBER("19") bu değer metinden sayıya dönüştürülmez ve işlev ISNUMBER YANLIŞ değerini döndürür.

İşlevleri kullanma Fonksiyonların her biri Formüllerdeki hesaplamaların sonuçlarını kontrol etmek uygundur. Bu özellikleri fonksiyonla birleştirmek fonksiyonla birlikte, formüllerdeki hataları bulabilirsiniz (aşağıdaki örneklere bakın).

Örnekler

Örnek 1

Aşağıdaki tablodaki örnek verileri kopyalayıp yeni bir Excel çalışma sayfasının A1 hücresine yapıştırın. Formüllerin sonuçlarını görüntülemek için bunları seçin ve F2'ye, ardından Enter'a basın. Gerekirse tüm verileri görmek için sütunların genişliğini değiştirin.

Aşağıdaki tablodaki örnek verileri kopyalayıp yeni bir Excel çalışma sayfasının A1 hücresine yapıştırın. Formüllerin sonuçlarını görüntülemek için bunları seçin ve F2'ye, ardından Enter'a basın. Gerekirse tüm verileri görmek için sütunların genişliğini değiştirin.

Veri
Formül	Tanım	Sonuç
BOŞ(A2)	C2 hücresinin boş olup olmadığını kontrol eder
HATA(A4)	A4 hücresindeki (#REF!) değerin bir hata değeri olup olmadığını kontrol eder
	A4 hücresindeki (#REF!) değerin #N/A hata değeri olup olmadığını kontrol eder
	A6 hücresindeki değerin (#N/A) #N/A hata değeri olup olmadığını kontrol eder
	A6 hücresindeki değerin (#YOK) bir hata değeri olup olmadığını kontrol eder
ISNUMBER(A5)	A5 hücresindeki değerin (330,92) sayı olup olmadığını test eder
EMETİN(A3)	A3 hücresindeki ("Bölge1") değerin metin olup olmadığını kontrol eder

sen (x) = ex türevi fonksiyonun kendisine eşittir.

Üs , veya olarak gösterilir.

e numarası

Üslü derecenin temeli e numarası. Bu irrasyonel bir sayıdır. Yaklaşık olarak eşittir
e ≈ 2,718281828459045...

E sayısı dizinin limiti aracılığıyla belirlenir. Bu sözde ikinci harika sınır:
.

e sayısı aynı zamanda bir seri olarak da gösterilebilir:
.

Üstel grafik

Üstel grafik, y = e x .

Grafik üssü gösterir e bir dereceye kadar X.
sen (x) = ex
Grafik, üssün monoton olarak arttığını göstermektedir.

Formüller

Temel formüller, tabanı e olan üstel fonksiyonla aynıdır.

;
;
;

Üstel bir fonksiyonun a'dan üstel bir dereceye kadar rastgele bir derece tabanıyla ifadesi:
.

Özel değerler

izin ver (x) = ex.
.

Daha sonra

Üs Özellikleri e > 1 .

Üs, kuvvet tabanına sahip bir üstel fonksiyonun özelliklerine sahiptir

Etki alanı, değerler kümesi (x) = ex y üssü
tüm x'ler için tanımlıdır.
- ∞ < x + ∞ .
Tanım alanı:
0 < y < + ∞ .

Birçok anlamı var:

Aşırılıklar, artan, azalan

Üstel monoton olarak artan bir fonksiyon olduğundan ekstremum değeri yoktur. Ana özellikleri tabloda sunulmaktadır.

Ters fonksiyon
;
.

Üssün tersi doğal logaritmadır.

Üssün türevi e bir dereceye kadar X Türev e bir dereceye kadar X :
.
eşit
.
N'inci dereceden türev:

Formüllerin türetilmesi > > >

İntegral

Karmaşık sayılar Karmaşık sayılarla işlemler kullanılarak gerçekleştirilir.:
,
Euler formülleri
.

sanal birim nerede:

; ;
.

Hiperbolik fonksiyonlar aracılığıyla ifadeler

; ;
;
.

Trigonometrik fonksiyonları kullanan ifadeler

Kuvvet serisi genişletmesi
Kullanılan literatür: