Garchi bir qarashda bu bog'liqlik mutlaqo noaniq bo'lib ko'rinsa ham (ilmiy matematika boshqa narsa, iqtisod va moliya esa boshqa narsa), lekin bu raqamning "kashfiyot" tarixini o'rgansangiz, hamma narsa ayon bo'ladi. Aslida, fanlar bir-biriga bog'liq bo'lmagan turli sohalarga bo'linishidan qat'i nazar, umumiy paradigma baribir bir xil bo'ladi (xususan, iste'mol jamiyati uchun - "iste'molchi" matematikasi).

Keling, ta'rifdan boshlaylik. e - natural logarifmning asosi, matematik doimiy, irratsional va transsendental son. Ba'zan e soni Eyler soni yoki Napier soni deb ataladi. Kichik lotin harfi "e" bilan belgilanadi.

Eksponensial funktsiya e^x "o'z-o'zidan" integrallashgan va differensiallanganligi sababli, e bazasiga asoslangan logarifmlar tabiiy deb qabul qilinadi (garchi "tabiiylik" nomining o'zi shubhali bo'lishi kerak, chunki barcha matematika mohiyatan sun'iy ravishda ixtiro qilingan funktsiyaga asoslangan. tabiatdan ajralgan uydirma tamoyillar va umuman tabiiy printsiplarga emas).

Bu raqam ba'zan "Logarifmlarning ajoyib jadvalining tavsifi" (1614) asarining muallifi Shotlandiya olimi Nepier sharafiga Nepier deb ataladi. Biroq, bu nom mutlaqo to'g'ri emas, chunki Napier raqamning o'zidan bevosita foydalanmagan.

Konstanta birinchi marta 1618 yilda nashr etilgan Nepierning yuqorida tilga olingan asarining ingliz tilidagi tarjimasiga ilovada yashirincha uchraydi. Sahna ortida, chunki u faqat KINEMATIC mulohazalar asosida aniqlangan tabiiy logarifmlar jadvalini o'z ichiga oladi, lekin doimiyning o'zi mavjud emas.

Konstantaning o'zi birinchi marta Shveytsariya matematigi Bernulli tomonidan (1690 yildagi rasmiy versiyaga ko'ra) FOIZLI DAROMADning chegaraviy qiymati masalasini hal qilishda hisoblab chiqilgan. U aniqladiki, agar dastlabki miqdor $1 bo'lsa (valyuta mutlaqo ahamiyatsiz) va yil oxirida bir marta yillik 100% qo'shilsa, yakuniy miqdor $2 bo'ladi. Ammo agar bir xil foizlar yiliga ikki marta qo'shilsa, u holda $1 1,5 ga ikki marta ko'paytiriladi, natijada $1,00 x 1,5² = $2,25 bo'ladi. Murakkab foizlar har chorakda $1,00 x 1,254 = $2,44140625 va hokazo. Bernoulli shuni ko'rsatdiki, agar foizlarni hisoblash chastotasi CHEKSIZ O'SHSA, unda murakkab foizlar holatida foiz daromadi chegarasiga ega - va bu chegara 2,71828 ga teng ...

$1,00×(1+1/12)12 = $2,613035…

$1,00×(1+1/365)365 = $2,714568… - limitda e raqami

Shunday qilib, e soni aslida tarixiy jihatdan yiliga 100% bo'lgan maksimal mumkin bo'lgan YILLIK FORNI va foizlarni kapitallashtirishning maksimal chastotasini anglatadi. Va koinot qonunlarining bunga qanday aloqasi bor? E raqami iste'mol jamiyatida ssuda foizlarining pul iqtisodining poydevoridagi muhim qurilish bloklaridan biri bo'lib, uning ostida eng boshidan, hatto aqliy falsafiy darajada ham, bugungi kunda qo'llaniladigan barcha matematikalar bir necha asrlar davomida o'zgartirildi va keskinlashtirildi. oldin.

Ushbu doimiyning birinchi ma'lum qo'llanilishi, u b harfi bilan belgilangan, Leybnitsning 1690-1691 yillarda Gyuygensga yozgan maktublarida uchraydi.

Eyler e harfini 1727 yilda ishlata boshlagan, u birinchi marta Eylerning nemis matematigi Goldbaxga 1731 yil 25 noyabrdagi maktubida uchraydi va bu maktub bilan birinchi nashr uning “Mexanika yoki harakat ilmi, analitik tarzda tushuntirilgan” asaridir. ," 1736 yil. Shunga ko'ra, e odatda Eyler soni deb ataladi. Garchi ba'zi olimlar keyinchalik c harfini ishlatgan bo'lsalar ham, e harfi ko'proq ishlatilgan va bugungi kunda standart belgidir.

Aynan nima uchun e harfi tanlangani ma'lum emas. Ehtimol, bu eksponensial ("indikativ", "eksponensial") so'zining u bilan boshlanishi bilan bog'liqdir. Yana bir taklif shundaki, a, b, c va d harflari allaqachon boshqa maqsadlarda juda keng tarqalgan va e birinchi "erkin" harf edi. Shunisi e'tiborga loyiqki, e harfi Eyler familiyasidagi birinchi harfdir.

Lekin har qanday holatda ham, e soni qandaydir tarzda olam va tabiatning umuminsoniy qonunlari bilan bog'liq deb aytish shunchaki bema'nilikdir. Ushbu raqam tushunchaning o'zi tomonidan dastlab kredit-moliyaviy pul tizimi bilan bog'langan va xususan, bu raqam orqali (lekin nafaqat) kredit-moliya tizimining mafkurasi boshqa barcha matematikaning shakllanishi va rivojlanishiga bilvosita ta'sir ko'rsatgan va u orqali. boshqa barcha fanlar (axir, istisnosiz, fan matematikaning qoidalari va yondashuvlaridan foydalangan holda nimanidir hisoblaydi). E raqami differensial va integral hisobda muhim rol o'ynaydi, bu esa u orqali foiz daromadini maksimal darajada oshirish mafkurasi va falsafasi bilan ham bog'liq (hatto buni ongsiz ravishda bog'liq deb aytish mumkin). Tabiiy logarifm qanday bog'liq? E ni doimiy (boshqa hamma narsa bilan birga) sifatida o'rnatish fikrlashda yashirin bog'lanishlarning shakllanishiga olib keldi, unga ko'ra barcha mavjud matematika pul tizimidan ajratilgan holda mavjud bo'lolmaydi! Shu nuqtai nazardan, qadimgi slavyanlar (va nafaqat ular) konstantalarsiz, irratsional va transsendental raqamlarsiz, hatto raqamlarsiz va umuman raqamlarsiz (qadim zamonlarda harflar raqamlar sifatida ishlagan) mukammal tarzda boshqarishganligi ajablanarli emas. turli mantiq, pul yo'qligida tizimda turlicha fikrlash (va shuning uchun u bilan bog'liq hamma narsa) yuqoridagi barcha shunchaki keraksiz qiladi.

TA’RIF

Raqam deb ataladigan irratsional va transsendental matematik doimiydir Eyler raqami yoki Napier raqami, bu natural logarifmning asosi hisoblanadi.

Sahna ortida doimiy shotland matematigi Jon Nepierning (1550-1617) "Logarifmlarning ajoyib jadvalining tavsifi" asarida (aniqrog'i, 1618 yilda nashr etilgan ushbu asar tarjimasiga ilovada) mavjud. Bu doimiy haqida birinchi eslatma sakson faylasufi, mantiqiy, matematik, mexanik, fizik, huquqshunos, tarixchi, diplomat, ixtirochi va tilshunos Gotfrid Vilgelm Leybnitsning (1646-1716) gollandiyalik mexanik, fizik, matematik, matematikaga yozgan maktublarida uchraydi. va ixtirochi Kristian Huyngens van Zuilichem (1629-1695) 1690-91 yillarda. U erda xat bilan belgilandi. An'anaviy belgilash 1727 yilda shveytsariyalik, nemis, rus matematigi va mexaniki Leonhard Eyler (1707-1783) undan foydalana boshladi; u uni birinchi marta 1731 yilda nemis matematigi Kristian Goldbaxga (1690-1764) yozgan maktubida ishlatgan. Bu maktub bilan birinchi nashr L. Eylerning "Mexanika yoki harakat ilmi, analitik tarzda tushuntirilgan" asaridir (1736). Konstantaning o'zi birinchi marta shveytsariyalik matematik Yakob Bernulli (1655-1705) tomonidan foiz daromadining chegaraviy qiymati masalasini hal qilishda hisoblangan:

Raqam matematikaning turli sohalarida, ayniqsa differensial va integral hisoblashda muhim rol o'ynaydi. Eyler sonining transsendensiyasi fransuz matematigi Sharl Ermit (1822-1901) tomonidan faqat 1873 yilda isbotlangan.

Raqamli vazifalar

1) chegara orqali:

2,7182818284590452353602874713527… O'n oltilik 2,B7E151628AED2A6A… jinsi kichik 2; 43 05 48 52 29 48 35 … Ratsional yaqinlashuvlar 8 / 3 ; 11 / 4 ; 19 / 7 ; 87 / 32 ; 106 / 39 ; 193 / 71 ; 1264 / 465 ; 2721 / 1001 ; 23225 / 8544

(aniqlikni oshirish tartibida keltirilgan)

Davomli kasr

Aniqlash usullari

Raqam e bir necha jihatdan aniqlash mumkin.

• Cheklovdan oshib: e = lim x → ∞ (1 + 1 x) x (\displaystyle e=\lim _(x\to \infty )\left(1+(\frac (1)(x))\o'ng)^(x) )(ikkinchi ajoyib chegara). e = lim n → ∞ n n !}}} !} n (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n)
• (bu Moivre-Stirling formulasidan kelib chiqadi). Seriya yig'indisi sifatida:}} !} e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! (\displaystyle e=\sum _(n=0)^(\infty )(\frac (1)(n)}} !}.
• yoki 1 e = ∑ n = 2 ∞ (− 1) n n !(\displaystyle (\frac (1)(e))=\sum _(n=2)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n) Yakkalik sifatida
• a (\displaystyle a) 1 e = ∑ n = 2 ∞ (− 1) n n !, buning uchun ∫ 1 a d x x = 1. (\displaystyle \int \limits _(1)^(a)(\frac (dx)(x))=1.)

Yagona ijobiy raqam sifatida

, buning uchun bu haqiqat

d d x a x = a x. (\ displaystyle (\ frac (d) (dx)) a ^ (x) = a ^ (x).) Xususiyatlari Mantiqsizlikning isboti Buni taxmin qilaylik e (\displaystyle e) oqilona. Keyin e = p / q (\displaystyle e=p/q), Qayerda p (\displaystyle p) - butun, va q (\displaystyle q) - tabiiy. !} Shuning uchun p = e q (\displaystyle p=eq)=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}} !} Tenglamaning ikkala tomonini ga ko'paytirish (q − 1) !} !}(\displaystyle (q-1) , olamiz=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}} !} O'ng tomondagi barcha shartlar butun sonlar, shuning uchun chap tomondagi yig'indi butun sondir. Lekin bu summa ham ijobiy, ya'ni 1 dan kam emas. Boshqa tomondan, ∑ n = q + 1 ∞ q !< ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) m {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}} n! = ∑ m = 1 ∞ q !< 1 q {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}} (q + m) ! = ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) ., = ∑ m = 1 ∞ q !< 1 {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1} .

• Raqam (\ displaystyle (\ frac (d) (dx)) a ^ (x) = a ^ (x).). (\ displaystyle (\ frac (d) (dx)) a ^ (x) = a ^ (x).)(q + m)
• O'ng tomondagi geometrik progressiyani umumlashtirib, biz quyidagilarni olamiz: (\ displaystyle (\ frac (d) (dx)) a ^ (x) = a ^ (x).)∑ n = q + 1 ∞ q !
• Raqam e n!
• Chunki q ≥ 1 (\displaystyle q\geq 1)
• Biz qarama-qarshilikni olamiz. (\ displaystyle (\ frac (d) (dx)) a ^ (x) = a ^ (x).) transsendental. Bu birinchi marta 1873 yilda Charlz Ermit tomonidan isbotlangan. Raqamning oshib ketishi Lindeman teoremasidan kelib chiqadi. Bu shunday deb taxmin qilinadi - normal son, ya'ni uning yozuvida turli raqamlarning paydo bo'lish chastotasi bir xil. Hozirda (2017) bu gipoteza isbotlanmagan.
• hisoblanuvchi (shuning uchun arifmetik) sondir. e i x = cos ⁡ (x) + i ⋅ sin ⁡ (x) (\displaystyle e^(ix)=\cos(x)+i\cdot \sin(x)), xususan Eyler formulasiga qarang Formulani bog'lovchi raqamlar}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.} !}
• Raqam e Va p (\displaystyle \pi), deb ataladi Puasson integrali yoki Gauss integrali ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = p (\displaystyle \int \limits _(-\infty )^(\infty )\ e^(-x^(2))(dx)=(\sqrt (\pi) )))
• Har qanday murakkab son uchun z
• quyidagi tengliklar to'g'ri bo'ladi: e z = ∑ n = 0 ∞ 1 n !
• e = lim n → ∞ n n !}}.} !}
• n. (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty)(\frac (n)(\sqrt[(n)](n)
• Kataloniya vakili: e = 2 ⋅ 4 3 ⋅ 6 ⋅ 8 5 ⋅ 7 4 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 16 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 8 ⋅ 18 ⋅2 ⋅2 ⋅ 28 ⋅ 30 ⋅ 32 17 ⋅ 19 ⋅ 21 ⋅ 23 ⋅ 25 ⋅ 27 ⋅ 29 ⋅ 31 16 ⋯ (\displaystyle e=2\cdot (\sqrt (\frac (4)(3)))\cdot (\sqrt[(4)](\frac (6)) \cdot 8)(5\cdot 7)))\cdot (\sqrt[(8)](\frac (10\cdot 12\cdot 14\cdot 16)(9\cdot 11\cdot 13\cdot 15)) )\cdot (\sqrt[(16)](\frac (18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32)(17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\ cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31)))\cdots )
• Ish orqali vakillik:

e = 3 ⋅ ∏ k = 1 ∞ (2 k + 3) k + 1 2 (2 k - 1) k - 1 2 (2 k + 1) 2 k (\displaystyle e=(\sqrt (3))\ cdot \prod \limits _(k=1)^(\infty )(\frac (\left(2k+3\right)^(k+(\frac (1)(2)))\left(2k-1\ o'ng)^(k-(\frac (1)(2))))(\chap(2k+1\o'ng)^(2k))))}} !}

Qo'ng'iroq raqamlari orqali

E = 1 B n ∑ k = 0 ∞ k n k! (\displaystyle e=(\frac (1)(B_(n)))\sum _(k=0)^(\infty )(\frac (k^(n))(k) Hikoya Bu raqam ba'zan chaqiriladi patsiz Shotlandiya olimi Napier sharafiga, "Logarifmlarning ajoyib jadvalining tavsifi" asari muallifi (1614). Biroq, bu nom mutlaqo to'g'ri emas, chunki u raqamning logarifmiga ega.

x (\displaystyle x)

teng edi 10 7 ⋅ log 1 / e ⁡ (x 10 7) (\displaystyle 10^(7)\cdot \,\log _(1/e)\left((\frac (x)(10^(7)) \o'ng)) Konstanta birinchi marta 1618 yilda nashr etilgan Nepierning yuqorida tilga olingan asarining ingliz tilidagi tarjimasiga ilovada yashirincha uchraydi. Sahna orqasida, chunki u faqat kinematik mulohazalar asosida aniqlangan tabiiy logarifmlar jadvalini o'z ichiga oladi, lekin doimiyning o'zi mavjud emas. Konstantaning o'zi birinchi marta shveytsariyalik matematik Yakob Bernulli tomonidan foizli daromadning chegaraviy qiymati masalasini hal qilishda hisoblab chiqilgan. U aniqladiki, agar asl miqdor$ 1 (\displaystyle \$1) 10 7 ⋅ log 1 / e ⁡ (x 10 7) (\displaystyle 10^(7)\cdot \,\log _(1/e)\left((\frac (x)(10^(7)) \o'ng)) va har yili bir marta yil oxirida hisoblab chiqiladi, keyin umumiy miqdor bo'ladi $ 2 (\displaystyle \$2). Ammo bir xil foizlar yiliga ikki marta hisoblansa, u holda ga ko'paytiriladi 1 , 5 (\displaystyle 1(,)5) ikki marta, olish, va hokazo. Bernoulli shuni ko'rsatdiki, agar foizlarni hisoblash chastotasi cheksiz ko'paytirilsa, unda murakkab foizlar holatida foiz daromadi chegarasiga ega: lim n → ∞ (1 + 1 n) n .(\displaystyle \lim _(n\to \infty )\chap(1+(\frac (1)(n))\o'ng)^(n).) va bu chegara songa teng.

e (≈ 2,718 28) (\displaystyle e~(\taxminan 2(,)71828))

$ 1, 00 ⋅ (1 + 1 12) 12 = $ 2,613,035... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(12))\oʻng)^( 12 )=\$2(,)613035...)

$ 1, 00 ⋅ (1 + 1,365) 365 = $ 2,714,568... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(365))\oʻng)^( 365) =\$2(,)714568...) (\ displaystyle (\ frac (d) (dx)) a ^ (x) = a ^ (x).) Shunday qilib, doimiy da mumkin bo'lgan maksimal yillik foydani bildiradi 100% (\displaystyle 100\%)

yillik va foizlarni kapitallashtirishning maksimal chastotasi. Bu doimiyning birinchi ma'lum qo'llanilishi, bu erda u harf bilan belgilangan b (\displaystyle b)

, Leybnitsning Gyuygensga maktublarida topilgan, -1691. (\ displaystyle (\ frac (d) (dx)) a ^ (x) = a ^ (x).) Xat (\ displaystyle (\ frac (d) (dx)) a ^ (x) = a ^ (x).) Eyler uni 1727 yilda qo'llashni boshlagan, u birinchi marta Eylerning nemis matematigi Goldbaxga 1731 yil 25 noyabrdagi maktubida topilgan va bu maktub bilan birinchi nashr uning "Mexanika yoki harakat ilmi, analitik tarzda tushuntirilgan" asaridir. 1736. Mos ravishda, Eyler raqami odatda chaqiriladi . Garchi ba'zi olimlar keyinchalik xatdan foydalangan bo'lsalar ham c (\displaystyle c) (\ displaystyle (\ frac (d) (dx)) a ^ (x) = a ^ (x).), xat

tez-tez ishlatib kelindi va endi standart belgi hisoblanadi. Funktsiyalarning har biri E belgilangan qiymatni tekshiradi va natijaga qarab TRUE yoki FALSE qaytaradi. Masalan, funktsiya BOS

agar tekshirilayotgan qiymat bo'sh katakka havola bo'lsa, TRUE mantiqiy qiymatini qaytaradi; aks holda FALSE mantiqiy qiymati qaytariladi. Funktsiyalarning har biri Funksiyalar qiymat haqida hisoblash yoki unga nisbatan boshqa amallarni bajarishdan oldin ma'lumot olish uchun ishlatiladi. Masalan, xatolik yuz berganda boshqa amalni bajarish uchun funksiyadan foydalanishingiz mumkin XATO funktsiyasi bilan birgalikda:

= AGAR AGAR(

ERROR(A1); "Xatolik yuz berdi."; A1*2) funktsiyasi bilan birgalikda Ushbu formula A1 katakchadagi xatolikni tekshiradi. Xatolik yuzaga kelganda, funksiya funktsiyasi bilan birgalikda"Xatolik yuz berdi" xabarini qaytaradi. Hech qanday xato bo'lmasa, funktsiya

A1*2 mahsulotini hisoblab chiqadi.

Sintaksis

EMPTY(qiymat)

EOS(qiymat)

ERROR(qiymat)

ELOGIC(qiymat)

UNM(qiymat)

NETTEXT(qiymat)

ETEXT (qiymat) Funktsiyalarning har biri funktsiya argumenti

quyida tavsiflangan. Majburiy argument. Qiymat tekshirilmoqda. Ushbu argumentning qiymati bo'sh katak, xato qiymati, mantiqiy qiymat, matn, raqam, sanab o'tilgan ob'ektlarning har qandayiga havola yoki bunday ob'ektning nomi bo'lishi mumkin.

Funktsiya	Agar TRUE qaytarsa
	Qiymat argumenti bo'sh katakka ishora qiladi
	Qiymat argumenti #N/A dan boshqa har qanday xato qiymatiga ishora qiladi
	Qiymat argumenti har qanday xato qiymatiga ishora qiladi (#N/A, #VALUE!, #REF!, #DIV/0!, #NUM!, #NAME? yoki #EMPTY!)
	Qiymat argumenti mantiqiy qiymatga ishora qiladi
	Qiymat argumenti #N/A xato qiymatiga ishora qiladi (qiymat mavjud emas)
ENETEXT	Qiymat argumenti matn bo'lmagan har qanday elementga ishora qiladi. (E'tibor bering, agar argument bo'sh katakka tegishli bo'lsa, funktsiya TRUE qiymatini qaytaradi.)
	Qiymat argumenti raqamga ishora qiladi
	Qiymat argumenti matnga ishora qiladi

Eslatmalar

Funksiyalardagi argumentlar Funktsiyalarning har biri aylantirilmaydi. Qo'shtirnoq ichiga olingan har qanday raqamlar matn sifatida qabul qilinadi. Masalan, raqamli argumentni talab qiladigan ko'pgina boshqa funktsiyalarda "19" matn qiymati 19 raqamiga aylantiriladi. Biroq, formulada ISNUMBER("19") bu qiymat matndan raqamga aylantirilmaydi va funktsiya ISNUMBER FALSE qaytaradi.

Funktsiyalardan foydalanish Funktsiyalarning har biri Hisoblash natijalarini formulalarda tekshirish qulay. Ushbu xususiyatlarni funktsiya bilan birlashtirish funktsiyasi bilan birgalikda, formulalardagi xatolarni topishingiz mumkin (quyidagi misollarga qarang).

Misollar

1-misol

Quyidagi jadvaldan namunaviy ma'lumotlarni nusxalang va uni yangi Excel ish varag'ining A1 katakchasiga joylashtiring. Formulalar natijalarini ko'rsatish uchun ularni tanlang va F2 tugmasini bosing, keyin Enter tugmasini bosing. Agar kerak bo'lsa, barcha ma'lumotlarni ko'rish uchun ustunlar kengligini o'zgartiring.

Quyidagi jadvaldan namunaviy ma'lumotlarni nusxalang va uni yangi Excel ish varag'ining A1 katakchasiga joylashtiring. Formulalar natijalarini ko'rsatish uchun ularni tanlang va F2 tugmasini bosing, keyin Enter tugmasini bosing. Agar kerak bo'lsa, barcha ma'lumotlarni ko'rish uchun ustunlar kengligini o'zgartiring.

Ma'lumotlar
Formula	Tavsif	Natija
BOS (A2)	C2 katak bo'sh yoki yo'qligini tekshiradi
XATO (A4)	A4 katakdagi qiymat (#REF!) xato qiymati ekanligini tekshiradi
	A4 katakchadagi qiymat (#REF!) xato qiymati #N/A ekanligini tekshiradi
	A6 yacheykadagi qiymat (#N/A) xato qiymati #N/A ekanligini tekshiradi
	A6 katakchadagi qiymat (#N/A) xato qiymati ekanligini tekshiradi
ISNUMBER(A5)	A5 katakchadagi qiymat (330,92) raqam ekanligini tekshiradi
ETEXT(A3)	A3 katakchadagi qiymat ("Region1") matn ekanligini tekshiradi

y (x) = e x, hosilasi funksiyaning o'ziga teng.

Ko'rsatkich , yoki sifatida belgilanadi.

Raqam e

Ko'rsatkich darajasining asosi raqam e. Bu irratsional raqam. Bu taxminan teng
e ≈ 2,718281828459045...

E soni ketma-ketlikning chegarasi orqali aniqlanadi. Bu deb ataladigan narsa ikkinchi ajoyib chegara:
.

e soni qator sifatida ham ifodalanishi mumkin:
.

Eksponensial grafik

Eksponensial grafik, y = e x .

Grafik ko'rsatkichni ko'rsatadi e darajaga qadar X.
y (x) = e x
Grafik ko'rsatkichning monoton ravishda ortib borishini ko'rsatadi.

Formulalar

Asosiy formulalar asosi e darajali eksponensial funktsiya bilan bir xil.

;
;
;

Ko'rsatkichli funktsiyani ixtiyoriy a darajali asosli eksponensial orqali ifodalash:
.

Shaxsiy qadriyatlar

Keling, y (x) = e x.
.

Keyin

Ko‘rsatkich xossalari e > 1 .

Ko'rsatkich quvvat asosli ko'rsatkichli funktsiyaning xususiyatlariga ega

Domen, qiymatlar to'plami (x) = e x Koʻrsatkich y
barcha x uchun belgilangan.
- ∞ < x + ∞ .
Uning ta'rif sohasi:
0 < y < + ∞ .

Uning ko'p ma'nolari:

Ekstremal, ortib boruvchi, kamayuvchi

Eksponensial monoton ravishda ortib boruvchi funktsiyadir, shuning uchun u ekstremalga ega emas. Uning asosiy xususiyatlari jadvalda keltirilgan.

Teskari funksiya
;
.

Ko'rsatkichning teskarisi natural logarifmdir.

Ko'rsatkichning hosilasi e darajaga qadar X Hosil e darajaga qadar X :
.
ga teng
.
n-tartibning hosilasi:

Formulalarni chiqarish > > >

Integral

Kompleks sonlar Kompleks sonlar bilan operatsiyalar yordamida amalga oshiriladi:
,
Eyler formulalari
.

xayoliy birlik qayerda:

; ;
.

Giperbolik funksiyalar orqali ifodalar

; ;
;
.

Trigonometrik funksiyalar yordamida ifodalar

Quvvat seriyasining kengayishi
Foydalanilgan adabiyotlar: