Актуальность темы. Системы электроснабжения (СЭС) являются неотъемлемыми частями космических аппаратов (КА), определяют их энергетическое обеспечение и существенно влияют на эффективность функционирования.

Специфика работы СЭС космических аппаратов заключается в цикличности, высокой инерционности, строгом лимите времени получения энергии от солнечных батарей, а также наиболее рациональном распределении полученной энергии между потребителями. В связи с длительным пребыванием космических аппаратов на орбите число циклов работы систем электроснабжения может достигать десятков тысяч, вследствие чего в указанных системах все более широкое применение находят никель-водородные аккумуляторные батареи (НВАБ), обладающие наибольшим числом циклов заряда/разряда и длительным жизненным циклом. Однако никель-водородные аккумуляторные батареи обладают рядом специфичных и характерных только для них параметров.

Вследствие вышеуказанной специфики важнейшим этапом при разработке систем электроснабжения космических аппаратов является проведение наземных испытаний на специализированных автоматизированных стендовых комплексах, а одной из наиболее важных, трудоемких и сложных работ при построении систем электроснабжения является разработка подсистем, отвечающих за работу с аккумуляторными батареями, то есть зарядно-разрядных устройств.

На практике обычно используют способы отработки зарядно-разрядных устройств без аккумуляторных батарей, основанные на использовании различных устройств, имитирующих их отдельные элементы и режимы. Существующие разработки в области имитации работы никель-водородных аккумуляторных батарей основываются на ручном изменении параметров, отличаются сложностью конструкции и отсутствием унификации даже для однотипных батарей. В связи с этим существует необходимость создания автоматизированного испытательного стенда, имитирующего поведение никель-водородных аккумуляторных батарей в различных условиях, что, в свою очередь, требует разработки соответствующей математической модели.

Таким образом, актуальность темы диссертационного исследования продиктована необходимостью разработки математических средств моделирования сложных электрохимических процессов, протекающих в никель-водородных аккумуляторных батареях бортовых систем электроснабжения космических аппаратов, являющихся функциональным ядром специализированных машинных имитаторов, обеспечивающих качественное и безопасное проведение наземных испытаний и экспериментов в рамках автоматизированных испытательных комплексов.

Тематика диссертационной работы соответствует научному направлению ГОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» «Вычислительные системы и программно-аппаратные электротехнические комплексы».

Целью работы является разработка формализованного описания процессов, протекающих в никель-водородных аккумуляторных батареях, как основы построения математических моделей, имитирующих динамику изменения параметров, определяющих режимы работы объекта испытаний, в рамках автоматизированного программно-аппаратного испытательного комплекса бортовых систем электроснабжения.

Исходя из этой цели, в работе поставлены и решены следующие основные задачи:

Проведение анализа основных подходов к моделированию аккумуляторных батарей и анализа факторов, влияющих на их работу;

Проведение анализа статистической информации, характеризующей режимы работы никель-водородных аккумуляторных батарей в составе системы электроснабжения на основе орбитальных телеметрических данных международной космической станции; разработка рекомендаций по ее практическому применению;

Проведение анализа электрохимических процессов, протекающих в никель-водородных аккумуляторных батареях, разработка их формализованного описания и комплексной модели в режимах заряда, разряда и саморазряда;

Разработка структуры и средств реализации автоматизированного испытательного комплекса систем электроснабжения автономных объектов на базе разработанных моделей никель-водородных аккумуляторных батарей.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы системного анализа, положения теоретических основ электротехники, теоретических основ электрохимии, теории автоматического управления, элементы математического аппарата численного решения дифференциальных уравнений с частными производными, элементы теории графов.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

Предложена методика построения разрядных характеристик никель-водородных аккумуляторных батарей при изменении исходных данных по имеющимся измеренным экспериментальным и орбитальным данным, отличающаяся погрешностью не превышающей 5 %;

Разработана комплексная модель электрохимических и физических процессов в никель-водородной аккумуляторной батарее, отличающаяся учетом явления саморазряда;

Разработана нелинейная динамическая математическая модель никель-водородной аккумуляторной батареи, включающая в себя электрические и неэлектрические величины и показывающая гистерезисное поведение потенциала батареи при заряде/разряде, отличающаяся реализацией в терминах продольных и поперечных переменных в численном виде;

Предложен метод моделирования сложных электротехнических устройств, отличающийся приведением управляющих уравнений к матричной форме, дискретизированной во времени;

Разработана структура автоматизированного программно-аппаратного имитатора сигналов аккумуляторной батареи, отличающегося упрощенной аппаратной частью, гибкостью изменения параметров имитаторов, а также унификацией для однотипных аккумуляторных батарей;

Разработаны средства, обеспечивающие автоматизированный режим функционирования испытательного комплекса, а также обработку результатов испытаний.

Практическая значимость работы. Полученные в работе результаты могут быть положены в основу инженерных методик расчета переходных процессов в системах электроснабжения автономных объектов, использующих никель-водородные аккумуляторные батареи. Разработанная комплексная математическая модель позволяет определять различные характеристики никель-водородных аккумуляторных батарей без проведения экспериментов и испытаний реальных батарей. Предложенная модель может использоваться в составе автоматизированного стендового программно-аппаратного комплекса проведения испытаний систем электроснабжения автономных объектов (таких как космические летательные аппараты, автомобили гибридного типа, автономные системы ветроэнергетики и т.д.) совместно с имитатором сигналов никель-водородной аккумуляторной батареи.

Реализация и внедрение результатов работы.

Основные положения диссертационной работы внедрены в разработках НПО Электротехнический холдинг ООО «Энергия» в виде компонентов программного обеспечения в рамках автоматизированного программно-аппаратного стендового комплекса проведения испытаний систем электроснабжения космических аппаратов.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы обсуждались и получили одобрение на научных семинарах кафедры управления и информатики в технических системах ВГТУ (2002 - 2006 гг.); на конференциях профессорско-преподавательского состава ВГТУ (2001 -2004 гг.); на международной школе-конференции «Высокие технологии энергосбережения» (г. Воронеж, 2005 г.); на всероссийской студенческой научно-технической конференции «Прикладные задачи электромеханики, энергетики, электроники.» (г. Воронеж, 2006 г.).

Публикации. Результаты проведенных исследований опубликованы в 6 печатных работах, в том числе в 1 издании, рекомендованном ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателю принадлежит: - проведено исследование метрологических характеристик комплексного стенда проведения испытаний СЭС МКС; - проведено исследование различных математических моделей аккумуляторных батарей; - разработана унифицированная структура испытательных стендов, а так же алгоритм работы программного обеспечения.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 89 наименований и приложений. Основная часть работы содержит 165 страниц, 70 рисунков и 7 таблиц.

1. Разработанная структура и алгоритм работы программного обеспечения позволяют в полном объеме реализовать проведение различных видов испытаний широкого ряда изделий радиоэлектронной аппаратуры, что обеспечено унифицированной идеологией построения программного обеспечения с разделением по функциональным признакам;

2. Предложенный алгоритм тарировки измерительных каналов позволяет значительно повысить точность проведения измерений в ходе испытаний, причем, учитывая, что необходимость проведения тарировки возникает только на этапе изготовления и настройки испытательного стенда, то непосредственно при проведении испытаний повышается быстродействие информационно-измерительной системы в целом;

3. Разработанный алгоритм цифровой фильтрации результатов измерений позволяет значительно снизить влияние промышленных динамических помех, воздействующих на испытательное оборудование при проведении испытаний;

4. Разработанная структурная схема имитатора сигналов аккумуляторной батареи обеспечивает существенное повышение качества испытаний за счет упрощения аппаратной части, отвечающей за установку режимов имитатора, обеспечения гибкости изменения параметров имитаторов, а так же унификацию имитатора, по крайней мере, для однотипных аккумуляторных батарей;

5. Предварительная подготовка программы испытаний позволяет автоматизировать процесс проведения испытаний, а использование математической модели никель-водородной батареи позволяет существенно снизить трудоемкость подготовительного этапа испытаний.

Заключение

Проведенные в рамках диссертационной работы исследования в области моделирования процессов заряда, разряда и саморазряда никель-водородной батареи в составе систем электроснабжения автономных объектов позволили получить следующие результаты:

1. На основе проведенного анализа основных подходов к моделированию различных типов батареи, а так же их схем замещения, определены основные задачи, ориентированные на повышение качества проведения испытаний систем электроснабжения космических летательных аппаратов.

2. Разработана комплексная модель, описывающая электрохимические и физические процессы в никель-водородной батарее, учитывающая явление саморазряда.

3. Разработана нелинейная динамическая математическая модель никель-водородной батареи, включающая в себя электрические и неэлектрические величины и показывающая гистерезисное поведение потенциала батареи при заряде/разряде, реализованная в терминах продольных и поперечных переменных в численном виде.

4. Предложена модель анализа разрядных характеристик никель-водородной батареи при изменении исходных данных по имеющимся измеренным экспериментальным и орбитальным данным при помощи комбинированного смещения.

5. Предложен метод моделирования сложных электротехнических устройств, основанный на приведении управляющих уравнений к матричной форме, дискретизированой во времени.

6. Разработана структура автоматизированного программно-аппаратного комплекса, имитирующего сигналы аккумуляторной батареи, обладающая упрощенной аппаратной частью, гибкостью изменения параметров имитаторов, а так же унификацией для однотипных аккумуляторных батарей

7. Предложены средства, обеспечивающие автоматизированный режим функционирования испытательного комплекса, а так же обработку результатов испытаний.

2. Астахов Ю.Н., Веников В.А., Тер-Газарян А.Г. Накопители энергии в электрических системах. М.: Высшая школа, 1989. 160 с.

3. Бабков О.И. Основные проблемы космической электроэнергетики/ О.И. Бабков, Н.Я. Пинигин, Е.Е. Романовский, Б.Е. Черток// Промышленность России. -1999. -№ 9. -с. 7-22.

4. Блок имитатора сигналов, 33Y.2574.003 ТУ, г. Королев, Московская область, РКК «Энергия», 1987 г.

5. Варенбуд JI.P, Лившин Г.Д., Тищенко А.К. Разработка структуры и аппаратного состава информационно-управляющего комплекса для испытаний систем электропитания космических аппаратов / Энергия: Науч.-практ. вестн. 1999. - №4 - с.36-54.

6. Варенбуд JI.P, Ледяйкин В.В., Сазанов А.Б. Разработка алгоритма проведения испытаний СЭС с использованием автоматизированного аппаратно-программного комплекса. // Энергия: Науч.-практ. вестн. -2001.-№1 с. 16-28

7. Веденеев Г.М. Пути совершенствования автономных систем электроснабжения/ Веденеев Г.М., Орлов И.Н., Токарев А.Б., Чечин А.В.//С6. науч. трудов. №143. М.: Моск. Энерг. ин-т. 1987. -с. 7.

8. Герман-Галкин С. Г. Компьютерное моделирование полупроводниковых систем в MATLAB 6.0: Учебное пособие. СПб.: КОРОНА принт, 2001.9." Герман-Галкин С. Г. Линейные электрические цепи. Лабораторные работы. СПб.: Учитель и ученик, КОРОНА принт, 2002.

9. Герман-Галкин С. Г. Спектральный анализ процессов силовых полупроводниковых преобразователей в пакете MATLAB (R 13) // Научно-практический журнал "Exponenta Pro. Математика в приложениях", 2003, № 2. С. 80 82.

10. Динамическое моделирование и испытание технических систем/ Под ред. И.Д. Кочубиевского. М.: Энергия, 1978. -303 с.

11. Дуплин Н.И., Подвальный C.JL, Савенков В.В., Тищенко А.К. Анализ устойчивости разветвленных систем электропитания постоянного тока// Системы управления и информационные технологии: Сб. науч. трудов. -Воронеж, ВГТУ. 2000. -с. 40-49.

12. Дьяконов В. Simulink 4. Специальный справочник. СПб. 2002

13. Злакоманов В.В., Яковлев Б.С. Взаимодействие динамических систем с источниками энергии. М.: Энергия, 1980. -с. 144.

14. Блок имитатора сигналов, 33Y.2574.003 ТУ, г. Королев, Московская область, РКК «Энергия», 1987 г.

15. Лелеков А.Т. Моделирование теплофизических характеристик никель-водородного аккумулятора. // Вестник Сиб.гос. аэрокосмич. ун-т.: сб. науч. трудов./ под ред. проф. Г.П. Белякова; Сиб. гос. аэрокосмич. унт. Красноярск, 2004. Вып. 4. - стр. 128

16. Клиначёв Н. В. Основы моделирования систем или 7 доменов законов Ома и Кирхгофа: Избранные фрагменты. Челябинск, 2000-2005.

17. Савенков В.В. Моделирование, разработка и экспериментальное исследование электротехнических систем питания автономных объектов. Дисс. к.т.н., ВГТУ, Воронеж, 2002.

18. Сазанов А.Б. Математическое моделирование режимов работы аккумуляторных батарей.// Научно-технический журнал «Техника машиностроения», №2, Москва, 2007, «Вираж-центр», стр.27-30.

19. Сазанов А.Б., Литвиненко A.M. Автоматизация приемо-сдаточных испытаний электронных блоков изделий радиоэлектронной аппаратуры.// Научно-технический журнал «Электротехнические комплексы и системы управления», № 2, Воронеж, 2006, «Кварта» стр. 51-56.

20. Сазанов А.Б., Литвиненко A.M. Модель саморазряда никель-водородной батареи. // Вестник ВГТУ, серия «Энергетика», Выпуск 6, 2007 год/ Воронеж, гос. тех. университет. Воронеж, 2007.

21. Семыкин А.В., Казаринов И.А., Никель-водородные перезаряжаемые электрохимические системы. // Электрохимическая энергетика. Саратовский гос. ун-т, Саратов 2004, Т. 4, №1 стр.3-28, №2 стр.63-83, №3 стр. 113-147.

22. Теньковцев В.В., Центер Б.И., Основы теории и эксплуатации герметичных никель-кадмиевых аккумуляторов. Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. Отд., 1985.

23. Тищенко А.К., Ганкевич П.Т., Лившин Г.Д., Унифицированная система электроснабжения для космических аппаратов// Воронеж. Энергия: Научно-практ. вестник. 1999.-№ 3. -с. 34-51.

24. Тищенко А.К., Ганкевич П.Т., Савенков В.В. Особенности проектирования унифицированых высоковольтных систем электроснабжения космических аппаратов// Воронеж. Энергия: Научно-практ. вестник. -1999 -№1-2 стр. 6-17

25. Центер Б.И., Лызлов Н.Ю. Металл-водородные электрохимические системы. Теория и практика. Л.: Химия, 1989, 282 с.

26. Черных И.В. Моделирование электротехнических устройств в MATLAB, SimPowerSystems и Simulink. 1-е издание, 2007 г.

27. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем искусство и наука: Пер. с англ. М.: Мир, 1978. 418 с.

28. Электроснабжение летательных аппаратов/ под ред. Н.Т. Коробина. -М.: Машиностроение, 1975. -с. 382.

29. Appelbaum, J and Weiss, R., "Estimation of Battery Charge in Photovoltaic Systems", 16th IEEE Photovoltaic Specialists Conference, pp. 513-518, 1982

30. Baudry, P. et al, "Electro-thermal modeling of polymer lithium batteries for starting period and pulse power", Journal of Power Sources, Vol 54, pp. 393-396, 1995

31. Bernardi D., E. Pawlikowski, J. Newman, A general energy balance for battery systems, J. Electrochem. Soc. 132 (1) (1985) 5-12.

32. Bratsch S. G., J. Phys. Chem. Ref. Data, 18,1 (1989).

33. Brenan К. E., Campbell S. L., and Petzold L. R., Numerical Solution of Initial- Value Problems in Differential-Algebraic Equations, North-Holland, New York (1989).

34. Bumby, J. R., P. H. Clarke, and I. Forster, U of Durham UK, "Computer modelling of the automotive energy requirements for internal combustion engine and battery electric-powered vehicle", IEE Proceedings, Vol 132, Pt. A, No. 5, Sept 1985, pp. 265-279

35. Chapman, P. and M. Aston, "A generic battery model for electric and hybrid vehicle simulation performance prediction", Electric and Hybrid Vehciles, SP-2, Int. J. Veh. Design, 1982, pp. 82-95

36. Cohen, F. and Dalton, P. J. "International Space Station Nickel-Hydrogen Battery Start-Up and Initial Performance." Proceedings of the 36th Intersociety Energy Conversion Engineering Conference, Savannah, GA, July 29-August 2, 2001.

37. Conway В. E. and Bourgault P. L., Can J. Chem., 37, 292 (1959).

38. Dalton, P., Cohen, F., "Battery Reinitialization of the Photovoltaic Module of the International Space Station," paper no.20033, Proceedings of the 37th Intersociety Energy Conversion Engineering Conference, Washington DC, July 28-August 2, 2002.

39. Dalton, P., Cohen, F., "International Space Station Nickel-Hydrogen Battery On-Orbit Performance," paper no.20091, Proceedings of the 37th Intersociety Energy Conversion Engineering Conference, Washington DC, July 28-August 2, 2002.

40. Dalton P., Cohen F., Update on international space station nickel-hydrogen battery on-orbit performance, in: Proceedings of AIAA 2003, Paper #12066, 2003.

41. De Vidts P., Delgado J., and White R. E., J. Electrochem. Soc., 143, 3223 (1996).

42. De Vidts P., Delgado J., Wu В., See D., Kosanovich K., and White R. E., J. Electrochem. Soc., 145,3874 (1998).

43. Dobner, Donald J. and Edward J. Woods, GM Research Laboratories, "An Electric Vehicle Dynamic Simulation", 1982, pp. 103-115

44. Dougal R.A., Brice C.W., Pettus R.O., Cokkinides G., Meliopoulos A.P.S.,

45. Virtual prototyping of PCIM systems-the virtual test bed, in: Proceedings of PCIM/HFPC "98 Conference, Santa Clara, CA, November 1998, pp. 226234.

46. Dunlop J.D., Rao G.M., Yi T.Y., NASA Handbook for Nickel-Hydrogen Batteries, NASA Reference Pub. 1314, September 1993.

47. Dunlop J.D., Giner J., Van Ommering G., Stockel J.F., Nickel Hydrogen Cell, U.S. Patent 3867299, 1975.

48. Facinelli, W. A., "Modeling and Simulation of Lead-Acid Batteries for Photocoltaic Systems", 1983 18st Intersociety Energy Conversion Engineering Conference IECEC, Volume 4, 1983

49. Halpert G., J. Power Sources, 12,177 (1984).

50. Hojnicki, J.S., Kerslake, T.W., 1993, "Space Station Freedom Electrical Performance Model," paper no. 93128, Proceedings of the 28th Intersociety Energy Conversion Engineering Conference, Atlanta, Georgia, August 8-13, 1993.

51. Gear C.W., Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1971.

Введение.

Литий-ионные аккумуляторы являются стандартом де-факто в области источников питания для электромобилей, систем бесперебойного питания, мобильных устройств и гаджетов . Другой пример использования литий-ионных аккумуляторов – накопители для возобновляемых источников энергии (главным образом, солнечные батареи и ветрогенераторы). Так в 2011 году в Китае был установлен накопитель на литий-ионных аккумуляторах общей емкостью 36 МВтч, способный отдавать в сеть 6 МВт электрической мощности в течение 6 часов . Примером противоположного масштаба являются литий-ионные батарей для имплантируемых кардиостимуляторов, ток нагрузки которых составляет порядка 10 мкА . Сам диапазон емкости единичного коммерчески выпускаемого литий-ионного элемента давно перешагнул отметку 500 Ач .

Использование литий-ионных аккумуляторов предполагает соблюдение параметров разряда и заряда батареи, в противном случае может произойти необратимая деградация емкости, выход из строя и даже возгорание батареи из-за саморазогрева. Поэтому литий-ионные аккумуляторы всегда применяются вместе с системой контроля и управления – СКУ или BMS (battery management system) . Система управления батареей выполняет защитные функции, контролируя температуру, ток заряда-разряда и напряжение, таким образом предотвращая слишком глубокий разряд, перезаряд и перегрев. Также BMS осуществляет контроль состояния батареи с помощью оценки степени заряда (State of Charge, SOC) и состояния годности (State of Health, SOH). Интеллектуальный BMS является необходимым в практически любом применении литий-ионных батарей, предоставляя информацию сколько устройство будет работать до необходимости подзарядки (значение SOC) и когда следует заменить батарею из-за потери емкости (значение SOH).

В настоящей работе мы сосредоточимся на моделях для оценки состояния SOC и SOH, пригодных для реализации в реальном времени в системах управления батареями. К сожалению, в русскоязычной научной литературе практически отсутствуют какие-либо публикации, рассматривающие подобные вопросы именно для литий-ионных аккумуляторов. Поэтому в этой статье мы попробуем восполнить данный пробел.

1. Предварительные сведения.

1.1. Литий-ионная батарея – элементарное описание.

Схематически процессы разряда и заряда литий-ионного аккумулятора можно представить на рисунке 1 .

Рисунок 1. Элементарное представление процессов в литий-ионном аккумуляторе.

Батарея состоит из углеродного анода и катода из оксида металла, содержащего также литий (например, LiMn2O4). Положительные ионы лития Li+ мигрируют между анодом и катодом через органический электролит. Важным моментом является то, что литий никогда не возникает в свободном металлическом состоянии – происходит только обмен его ионами между катодом и анодом. Поэтому такие аккумуляторы получили название «литий-ионные»

При заряде литий-ионного аккумулятора происходит деинтеркаляция (изъятие) лития из литийсодержащего катода и интеркаляция (внедрение) ионов лития в углеродный материал анода. При разряде аккумулятора процессы идут в обратном направлении: отрицательный заряд переносится потоком электронов с катода на анод, а ионы лития двигаются в обратном направлении – с анода на катод.

Более подробное описание процессов мы рассмотрим при моделировании аккумулятора на электрохимическом уровне.

1.2. Системный уровень описания батареи.

Со схемной точки зрения, батарея представляется двухполюсником. В данной работе будет использоваться ее описание в виде черного ящика, как системы с одним входом (ток в цепи ) и напряжение на клеммах батареи .

Напряжение холостого хода (open circuit voltage, OCV) – напряжение на клеммах батареи при отсутствии отбора тока .

Важнейшим параметром является емкость батареи , определяемая как максимальное количество электрической энергии (в Ач), которое батарея отдает в нагрузку с момента полного заряда до состояния разряда, не приводящего к преждевременной деградации батареи.

Как было сказано ранее, основные функции интеллектуального BMS – это оценка SOC и SOH.

Состояние заряда батареи (state of charge, SOC) – показатель, характеризующий степень заряженности батареи: 100% – полный заряд, 0% – полный разряд. Эквивалентный показатель глубина разряда (deepth of discharge, DoD) – . Обычно SOC измеряется в процентах, но в настоящей работе мы будем считать, что . Формально, SOC выражается как , где – текущий заряд в батареи.

Состояние годности батареи (state of health, SOH) – качественный показатель, характеризующий текущую степень деградации емкости батареи. Результатом оценки SOH является не численное значение, а ответ на вопрос: «необходимо ли заменить батарею в данный момент?». В настоящее время нет стандарта, регламентирующего на основе каких параметров батареи должен вычисляться SOH. Разные производители BMS используют для этого различные показатели, например, сравнение исходной и действительной емкости батареи или внутреннего сопротивления.

2. Модели для определения состояния заряда.

Определение состояния заряда SOC является задачей наблюдения за скрытым состояниям системы по имеющейся модели процесса и измеряемому выходному отклику от входного воздействия . Модели, предназначенные для использования в составе систем управления батареями для определения SOC, могут быть классифицированы на две большие группы :

Эмпирические модели, реплицирующие поведение батареи с позиции «черного ящика»;

Физические модели, моделирующие внутренние электрохимические процессы в батарее.

2.1 Эмпирические модели.

Класс эмпирических моделей включает в себя ряд различных подходов, общими чертами являются существенное упрощенное моделирование физических процессов в батарее. Эмпирические модели являются стандартом при реализации BMS, поскольку обладают с одной стороны достаточной простотой для реализации, а с другой – приемлемой точностью для оценки SOC , . Количественное сравнение 28 разных эмпирических моделей содержится в работе .

Основной вид эмпирических моделей – схемы замещения.

Исходной предпосылкой к эмпирическому моделированию является наблюдение, что динамика аккумуляторной батареи может быть разделена на две части ,:

Медленная динамика, связанная с зарядом и разрядом батареи,

Быстрая динамика, связанная с внутренним импедансом батареи: активным сопротивлением электролита и электродов, а также с электрохимическими емкостями.

Процессы старения и деградации емкости моделируются как нестационарность параметров системы.

Фактически, медленная динамика сводится к моделированию влияния SOC на электрические характеристики аккумулятора. Замечено, что напряжение холостого хода (OCV) является достаточно однозначной функцией от состояния заряда (SOC или DoD):

и слабо подвержено температурной вариации (кроме областей, где батарея почти полностью заряжена или разряжена), а также слабо меняется при старении батареи (если считать когда батарея заряжена до своей текущей с учетом деградации емкости) .

Типичные кривые зависимости для литий-ионных аккумуляторов с разной химией показаны на рисунке 2.

Рисунок 2. Типичные зависимости напряжения холостого хода от состояния заряда.

Аппроксимация зависимости может быть выполнена различными способами, в том числе кусочно-линейно или полиномиально. Одним из классических вариантов аппроксимации (1) является уравнение Шеферда (Shepherd model) , модификация которого для литий-ионного аккумулятора имеет вид :

где коэффициенты вычисляются на основе характерных точек кривой разряда батареи, которая обычно приводится в технической документации, а – полный заряд, прошедший из или в батарею за время : .

В работе , например, используется следующее выражение для аппроксимации :

Различные варианты параметризации систематически рассмотрены в работе .

Для получения полной модели батареи уравнение (2) может быть дополнено также слагаемыми, зависящими от тока батареи, например как это реализовано в системе Simulink в блоке Battery из SimPowerSystem (, ).

2.1.2 Внутренний импеданс батареи.

Вторая часть эмпирической модели – описание внутреннего импеданса, отвечающего за вольт-амперные характеристики и быструю динамику.

Самым простым вариантом моделирование является включенное последовательно с регулируемым источником ЭДС активное сопротивление (рисунок 3). Такая схема замещения моделирует внутреннее сопротивление батареи, создаваемое материалами электродов и электролита, на котором наблюдается омическое падение напряжения и выделение тепла.

Рисунок 3. Элементарная схема замещения батареи.

Для моделирования переходных процессов в батарее такая простейшая схема замещения должна быть дополнена реактивными элементами. Таким образом, последовательно с оказывается включено комплексное сопротивление с импедансом .

Обычно выделяют следующие электрохимические явления, существенно влияющие на динамику электрических переходных процессов (, ):

Классический двойной электрический слой в контакте электрод-электролит (Double-Layer)

Образование пассивной плёнки (solid-electrolyte interface, SEI) на электродах.

В результате этих факторов, внутри литий-ионного аккумулятора возникают электрохимические распределенные конденсаторы. Исследование импеданса батареи осуществляется с помощью электрохимической импедансной спектроскопии (Electrochemical Impedance Spectroscopy, EIS) -.

Предложено достаточно большое количество эквивалентных схем -, начиная от простых, содержащих несколько реактивных элементов, заканчивая детальным моделированием электрохимических явлений с помощью большого числа RC-цепочек , и даже нелинейных элементов .

Практически хорошо зарекомендовавший вариант (рисунок 4) эквивалентной схемы основан на последовательном соединении активного внутреннего сопротивления и двух RC-цепочек, моделирующих процессы поляризации с образованием объемных емкостей:

Электрохимическая емкость двойного слоя , влияние которой наблюдается на более высоких частотах,

Емкость , связанная с интеркаляцией и массообменом лития, доминирующая на низких частотах.

Рисунок 4. Схема замещения для динамической модели батареи второго порядка.

Таким образом, представленная на рисунке 4 динамическая модель второго порядка в пространстве состояний записывается в виде:

где , а параметры подбираются на основе экспериментальных данных, снятых с конкретного типа батареи.

В действительности, импеданс батареи является функцией от температуры и SOC, а в долгосрочном масштабе времени – также меняется при старении батареи.

Внутреннее активное сопротивление уменьшается при повышении температуры, но в пределах диапазона 25-40°C, оно остается достаточно стабильным . Эксперименты, проведенные в с полимерными литий-ионными аккумуляторами, показали, что параметры схемы замещения остаются постоянным при SOC больше 20%. При меньших значениях SOC происходит экспоненциальное увеличение сопротивлений и экспоненциальное уменьшение емкостей .

2.1.3 Моделирование состояния заряда.

Поскольку величина SOC изменяется в процессе заряда и разряда батареи, то естественно рассматривать SOC как еще одно состояние системы, добавив в схему замещения фрагмент для его моделирования.

Полная схема замещения представлена на рисунке 5. В схему добавлена изолированная цепь с управляемым источником током, обеспечивающим ток через и , равный току в цепи батареи . Таким образом осуществляется разряд и заряд емкости , моделирующей емкость батареи. Напряжение на емкости численно равно SOC, . Значение емкости определяется следующим образом :

где – полная емкость аккумулятора в Ач, – корректирующий множитель для учета зависимости емкости батареи от температуры , – корректирующий множитель для моделирования процесса старения ( – число циклов заряда-разряда).

Рисунок 5. Полная схема замещения для динамической модели второго порядка.

Сопротивление моделирует саморазряд батареи.

С учетом введенного фрагмента схемы, модель батареи в пространстве состояний дополняется еще одним уравнением для переменной :

Собственно задача определения SOC сводится к синтезу наблюдателя для модели (3)-(4).

2.2 Физические модели.

Некоторые исследователи предлагают использовать физические модели для предсказания SOC и SOH. Данный класс моделей основан на использовании уравнений, описывающих электрохимические процессы в батарее.
Главное преимущество такого подхода достаточно очевидно – достигается высокая точность моделирования за счет перехода с эмпирического на физический уровень описания модели. Недостатками являются высокая вычислительная сложность модели и большое количество параметров, подлежащих идентификации из экспериментальных данных. Несмотря на это, физические модели представляют достаточный интерес для будущих поколений систем управления батареями.

В литературе представлены два класса физических моделей:

Одночастичная модель (single particle model) -,

Одномерная пространственная модель (1D-spatial model) .

Одночастичная модель основана на допущении, что каждый из электродов литий-ионного элемента может рассматриваться как одна сферическая частица достаточно большого радиуса (чтобы ее площадь поверхности соответствовала площади пористого катода или анода батареи). Изменение концентрации и потенциала в электролите игнорируется, как и температурные эффекты.

Одномерная пространственная модель является дальнейшим развитием одночастичной модели, в которой каждый из электродов моделируется в виде множества пересекающихся сфер с центрами на одной линии. Такой подход позволяет более точно описать процесс интеркаляции (диффузии) ионов лития в пористые электроды батареи.

Заметим, что даже такие приближенные физические модели литий-ионных батарей основаны на уравнениях в частных производных и синтез наблюдателей для подобного рода объектов представляет собой отдельную нетривиальную задачу.

2.2.1 Одночастичная модель.

Одночастичная модель основана на моделировании следующих явлений в батарее: диффузия ионов лития в электроды и электрохимическая кинетика потока ионов. Процессы в электролите (жидкой фазе) представляются в виде постоянной проводимости и фактически не моделируются. Схематическая структура батареи в одночастичной модели показана на рисунке 6. Далее мы кратко воспроизведем основные составляющие модели. Все уравнения предполагаются одинаково удовлетворяющие как условиям реакции на аноде, так и в равной степени на катоде (с соответствующими параметрами).

Рисунок 6. Схематическое представление аккумулятора в одночастичной модели.

Интеркаляция лития в электроды моделируется как диффузия, описываемая законом Фика:

где – концентрация ионов лития в электродах (твердой фазе), – коэффициент диффузии.

Это уравнение может быть переписано в сферических координатах

с граничными условиями

Молярные потоки диффузии могут быть выражены как плотность тока через поверхность электродов:

где – постоянная Фарадея, – эффективная площадь поверхности каждого электрода.

Для оценки состояния заряда аккумулятора, удобно перейти от локальных концентраций к усредненным по всему объему электродов – :

Непосредственные вычисления показывают , что производная по времени находится как

где – коэффициент пропорциональности, – ток батареи.

Электрохимическая кинетика моделируется с помощью уравнения Батлера-Фольмера (Butler-Volmer equation) для молярного потока ионов лития:

в котором перенапряжения могут быть выражены следующим образом

где – потенциалы положительного и отрицательного электродов, – функция от концентрации ионов лития на поверхности электродов, – сопротивление электролита (жидкой фазы) и пассивной пленки на электроде, – универсальная газовая постоянная, – температура батареи.

Уравнение (7) может быть решено относительно перенапряжения с учетом, что потоки выражаются через ток батареи с помощью (5):

где – константы, выражающие плотность обменного тока.

Заметим, что напряжение на контактах батареи равно разности потенциалов , при этом потенциалы могут быть выражены через (8) с помощью подстановки (9). Отсюда, получаем искомое

Уравнения (6) и (10) составляют электрохимическую одночастичную модель литий-ионного аккумулятора.

2.2.2 Связь между одночастичной моделью и схемой замещения.

Концентрации для положительного электрода и отрицательного связаны друг с другом из уравнения (6): при увеличении , концентрация пропорционально уменьшается, и наоборот. Очевидно, что состояние заряда пропорционально концентрации . Тогда можно ввести в рассмотрение величину как состояние системы, при этом концентрации и будут линейно зависеть от : , .

Отсюда можно записать следующее уравнение для в одночастичной модели

где – некоторая положительная константа.

Слагаемое в (10), исходя из введенного состояния , от которого линейно зависят от концентрации и , может быть представлено в виде некоторой функции . В работе предложена следующая аппроксимация для :

Оставшаяся часть (10) представляет собой функцию от тока , для которой в предложена такая параметризация:

где – постоянные коэффициенты, идентифицируемые по экспериментальным данным.

Модель в пространстве состояния окончательно получается в виде:

(12)

Сопоставляя (4) и (11), достаточно очевидно, что уравнение состояния заряда в одночастичной модели (11) полностью аналогично представлению схемой замещения (4), при этом саморазряд батареи не моделируется. Из уравнения в (12) следует, что функции соответствует функция для напряжения холостого хода в схеме замещения. Но при этом в одночастичной модели существует дополнительный нелинейный элемент с падением напряжения , включенный последовательно с внутренним активным сопротивлением . В отличие от эмпирического представления схемой замещения, электрохимическая емкость двойного электрического слоя не моделируется в одночастичной модели.

Сама электрохимическая одночастичная модель может быть представлена в виде схемы замещения, показанной на рисунке 7.

Рисунок 7. Эквивалентная схема замещения для одночастичной модели.

Заключение.

В настоящей работе дан обзор двух вариантов моделей литий-ионных аккумуляторов для систем управления батареями. Показано, что эмпирическая модель на основе схемы замещения является самой распространенной в литературе, простой для реализации и гибкой с точки зрения масштабирования для моделирования специальных явлений в аккумуляторе. Параметры модели являются нестационарными, подверженными как процессу старению батареи, так и вариации от состояния заряда и температуры. На основе анализа последних публикаций сделан вывод, что перспективным направлением совершенствования моделей для нового поколения систем управления батарей является физические модели, количественно описывающие электрохимические явления в аккумуляторе. Показано, что одночастичная электрохимическая модель может быть представлена в виде схемы замещения, имеющей сходство с эмпирической моделью.

1. Ramadesigan V. et al. Modeling and simulation of lithium-ion batteries from a systems engineering perspective //Journal of The Electrochemical Society. – 2012. – Т. 159. – №. 3. – С. R31-R45
2. Гаранжа A. В Китае изготовлена самая большая в мире аккумуляторная батарея [Электронный ресурс] / A. Гаранжа – Режим доступа: http://www.liotech.ru/sectornews_207_503 – Загл. с экрана.
3. Axcom Battery Technology GmbH, CNFJ-500 2V/500Ah product specification [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.axcom-battery-technology.de/uploads/media/Lead_Crystal_Battery_CY2-500.pdf – Загл. с экрана
4. Pistoia G. (ed.). Lithium-Ion Batteries: Advances and Applications. – Newnes, 2013. – 634 p.
5. Lithium Ion Rechargeable Batteries: Technical Handbook, Sony Corporation [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.sony.com.cn/products/ed/battery/download.pdf – Загл. с экрана.
6. Выравнивание параметров секций аккумулятора обеспечивает дополнительное время работы и увеличивает срок службы аккумуляторных батарей [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.scanti.ru/bulleten.php?v=211&p=44 – Загл. с экрана
7. Rahimi-Eichi H., Ojha U., Baronti F., Chow M. Battery Management System: An Overview of Its Application in the Smart Grid and Electric Vehicles // Industrial Electronics Magazine, IEEE — June 2013. — vol.7, no.2, — pp.4-16
8. Chen M., Rincon-Mora G. A. Accurate electrical battery model capable of predicting runtime and IV performance //Energy conversion, ieee transactions on. — 2006. — Т. 21. — №. 2. — С. 504-511.
9. V. Pop, H.J. Bergveld, D. Danilov, P.P.L. Regtien, P.H.L. Notten, Battery Management Systems: Accurate State-of-Charge Indication for Battery-Powered Applications. ISBN: 978-1-4020-6944-4, In: Philips Research Book Series, vol. 9, Springer, 2008. pp. 24?37.
10. Melentjev S., Lebedev D. Overview of Simplified Mathematical Models of Batteries. // 13th International Symposium “Topical problems of education in the field of electrical and power engineering”. — Doctoral school of energy and geotechnology: Parnu, Estonia, January 14-19, 2013. — pp. 231-235
11. Tremblay O., Dessaint L. A. Experimental validation of a battery dynamic model for EV applications // World Electric Vehicle Journal. — 2009. — Т. 3. — №. 1. — С. 1-10.
12. Боченин В.А., Зайченко Т.Н. Исследование и разработка модели Li-Ion аккумулятора // Научная сессия ТУСУР–2012: Материалы Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, Томск, 16–18 мая 2012 г. – Томск: В-Спектр, 2012 – Том 2. – с 174-177.
13. Weng C., Sun J., Peng H. An Open-Circuit-Voltage Model of Lithium-Ion Batteries for Effective Incremental Capacity Analysis //ASME 2013 Dynamic Systems and Control Conference. – American Society of Mechanical Engineers, 2013. DSCC2013-3979 – С. 1-8.
14. Tang X. et al. Li-ion battery parameter estimation for state of charge //American Control Conference (ACC), 2011. – IEEE, 2011. – С. 941-946.
15. Zhao J. et al. Kinetic investigation of LiCOO2 by electrochemical impedance spectroscopy (EIS) //International Journal of Electrochemical Science. – 2010. – Т. 5. – №. 4. – С. 478-488.
16. Jiang Y. et al. Modeling charge polarization voltage for large lithium-ion batteries in electric vehicles //Journal of Industrial Engineering & Management. – 2013. – Т. 6. – №. 2. – С. 686-697.
17. Rahmoun A., Biechl H. Modelling of Li-ion batteries using equivalent circuit diagrams //PRZEGLAD ELEKTROTECHNICZNY. – 2012. – Т. 88. – №. 7 B. – С. 152-156.
18. He H., Xiong R., Fan J. Evaluation of lithium-ion battery equivalent circuit models for state of charge estimation by an experimental approach //energies. – 2011. – Т. 4. – №. 4. – С. 582-598.
19. Wang C., Appleby A. J., Little F. E. Electrochemical impedance study of initial lithium ion intercalation into graphite powders //Electrochimica acta. – 2001. – Т. 46. – №. 12. – С. 1793-1813.
20. Lee J., Nam O., Cho B. H. Li-ion battery SOC estimation method based on the reduced order extended Kalman filtering //Journal of Power Sources. – 2007. – Т. 174. – №. 1. – С. 9-15.
21. Johnson V. H., Pesaran A. A., Sack T. Temperature-dependent battery models for high-power lithium-ion batteries. – City of Golden: National Renewable Energy Laboratory, 2001.
22. Hu X., Li S., Peng H. A comparative study of equivalent circuit models for Li-ion batteries //Journal of Power Sources. – 2012. – Т. 198. – С. 359-367.
23. Santhanagopalan S., White R. E. Online estimation of the state of charge of a lithium ion cell //Journal of Power Sources. – 2006. – Т. 161. – №. 2. – С. 1346-1355.
24. Rahimian S. K., Rayman S., White R. E. Comparison of single particle and equivalent circuit analog models for a lithium-ion cell //Journal of Power Sources. – 2011. – Т. 196. – №. 20. – С. 8450-8462.
25. Bartlett A. et al. Model-based state of charge estimation and observability analysis of a composite electrode lithium-ion battery //Decision and Control (CDC), 2013 IEEE 52nd Annual Conference on. – IEEE, 2013. – С. 7791-7796.
26. Moura S. J., Chaturvedi N. A., Krstic M. Adaptive Partial Differential Equation Observer for Battery State-of-Charge/State-of-Health Estimation Via an Electrochemical Model //Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. – 2014. – Т. 136. – №. 1. – С. 011015.
27. Klein R. et al. State estimation of a reduced electrochemical model of a lithium-ion battery //American Control Conference (ACC), 2010. – IEEE, 2010. – С. 6618-6623.
28. Fang H. et al. Adaptive estimation of state of charge for lithium-ion batteries //American Control Conference (ACC), 2013. – IEEE, 2013. – С. 3485-3491.

Военно-специальные науки Aeroballistic method of increasing of ballistic efficiency of the guided aviation bombs. Key words: distance of flight, guided aviation bomb, additional airfoil. Fomicheva Olga Anatolievna, candidate [email protected], Russia, Tula, Tula State University of technical science, docent, УДК 621.354.341 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ РАЗОГРЕВА АККУМУЛЯТОРНОЙ БАТАРЕИ С ПОМОЩЬЮ ХИМИЧЕСКОГО НАГРЕВАТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА Е.И. Лагутина В статье приведена математическая модель процесса поддержания аккумуляторной батареи в оптимальном тепловом состоянии в условиях низких температур окружающего воздуха за счет использования химического нагревательного элемента. Ключевые слова: термостатирование, конвективный теплообмен, аккумуляторная батарея, химический нагревательный элемент, математическая модель. На данном этапе развития вооружения и военной техники сложно себе представить успешное ведение боевых действий с минимальными собственными потерями без единой системы управления войсками. С учетом все возрастающей динамичности боевых действий основу системы управления войсками в тактическом звене управления составляют радиосредства. Такая роль радиосредств в системе управления в свою очередь заставляет особое внимание обращать и на элементы питания радиосредств – аккумуляторную батарею, как основу их бесперебойной работы. С учетом климатических особенностей нашей страны (наличие большого процента территорий с преимущественно холодным климатом, возможность успешного ведения боевых действий на некоторых операционных направлениях Дальнего Востока только в зимние месяцы) поддержание оптимального теплового режима работы аккумуляторной батареи в условиях низких температур окружающего воздуха является одной из важнейших задач. Именно ресурсосберегающие условия работы аккумуляторных батарей во многом определяют устойчивое функционирование системы связи, а, следовательно, и успешное выполнение боевых задач. 105 Известия ТулГУ. Технические науки. 2016. Вып. 4 На данный момент разработано достаточно много устройств термостатирования. Но общими недостатками для них, в основном, являются относительно большое энергопотребление (причем запитываются они от самой аккумуляторной батареи) и необходимость участия человека в управлении процессом термостатирования. Учитывая вышеперечисленные недостатки, в разрабатываемом устройстве термостатирования, в сочетании с теплоизолирующим корпусом, в качестве основного средства поддержания оптимального теплового режима работы аккумуляторной батареи предлагается использовать химический нагревательный элемент на основе перенасыщенного ацетата натрия трехводного NaCH3COO·3H2O с равновесной температурой фазового перехода Тф= 331 К и скрытой теплотой фазового перехода rт = 260 кДж/кг, который стабилен в условиях переохлаждения при введении небольших добавок и может переохлаждаться, по данным , до Т = 263 К. Проведенный патентный поиск показал наличие очень небольшого количества патентов с описанием тепловых аккумуляторов фазового перехода (ТАФП), использующих в качестве теплоаккумулирующих материалов (ТАМ) переохлажденные жидкости. Это свидетельствует о практическом отсутствии в данной области апробированных технических решений, позволяющих реализовать управляемый процесс отдачи ранее накопленной теплоты. Учитывая также, что удельная теплота фазового перехода выбранного ТАМ достаточно велика, и при этом он способен переохлаждаться до весьма низких значений температуры , то возникает необходимость провести самостоятельное расчетное исследование данного вещества с целью выявления его практической применимости. За основу для построения математической модели ТАФП взята задача Стефана, представляющая собой задачу о распределении температуры в теле при наличии фазового перехода, а также о местонахождении фаз и скорости движения границы их раздела. Для простоты мы рассмотрим плоскую задачу (когда поверхностью фазового перехода является плоскость). С классической точки зрения она является задачей математической физики и сводится к решению следующих уравнений : 2 dT1 2 d T1 = a1 . для 0 < x < ξ, 2 dτ dx 2 dT2 2 d T2 = a2 . для ξ < x < ∞, dτ dx 2 с дополнительными условиями T1 = C1 = const < Tф при x = 0, T2 = C = const > Tф и условиями фазового перехода 106 при τ = 0, (1) (2) (3) (4) Известия ТулГУ. Технические науки. 2016. Вып. 4 2. В обратимых процессах фазового перехода ТАМ плавлениекристаллизация при τ=0 границы раздела фаз сформированы, температурное поле ТАМ в растущей фазе линейно, а температура исчезающей фазы равна температуре фазового перехода. 3. Теплопроводность ТАМ в продольном направлении отсутствует. 4. Процесс фазового превращения ТАМ принимается одномерным. При этом границы раздела фаз неизменны по форме и в каждый момент времени представляют собой цилиндрические поверхности, расположенные концентрично по отношению к стенкам корпуса химического нагревательного элемента. 5. Тепловые потери в окружающую среду от ТАФП в процессе его разрядки и на нагрев соседних с корпусом аккумулятора деталей радиостанции не учитываются. 6. Коэффициенты переноса (теплоотдачи, теплопередачи, теплопроводности) и удельные теплоемкости постоянны и не зависят от температуры. Процесс конвективного теплообмена ТАМ со стенками корпуса химического нагревательного элемента описывается уравнением q раз (τ) = ак ⋅ Fк (Tтам (τ) − Tк (τ)) , (11) где qраз(τ) – тепловая мощность, отдаваемая корпусу химического нагревательного элемента, Вт; ак – коэффициент теплоотдачи от ТАМ к корпусу химического нагревательного элемента, Вт/(м2·К); Fк –площадь соприкосновения ТАМ с внутренней стенкой корпуса химического нагревательного элемента, м2; Ттам(τ) – температура теплоаккумулирующего материала, К; Тк(τ) – температура стенки корпуса химического нагревательного элемента, К. При τ>0 справедливы следующие уравнения: Tф − Т там (τ) q раз (τ) = λтв ⋅ ⋅ Fк, (12) т z (τ) dz (τ) q раз (τ) = ρ тв ⋅ r ⋅ ⋅ Fк, (13) т r d (τ) где λтв т – коэффициент теплопроводности ТАМ в твердой фазе, Вт/(м·К); z(τ) – толщина кристаллизовавшегося слоя ТАМ в момент времени τ, м; 3 ρ тв т – плотность ТАМ в твердой фазе, кг/м. Принятое допущение об описании теплового состояния корпуса химического нагревательного элемента по его средней температуре дает возможность не рассчитывать локальные скоростные поля и коэффициенты теплоотдачи в различных точках. Тогда при τ>0 справедливо следующее уравнение: q раз (τ) = а т ⋅ Fт (Tтам (τ) − Tк (τ)) , (14) 108 Военно-специальные науки где ат – коэффициент теплоотдачи от аккумулирующего материала к поверхности теплообмена, Вт/(м2·К); Fт – площадь поверхности теплообмена, м2; Учитывая, что подводимая к корпусу химического нагревательного элемента теплота идёт на увеличение его внутренней энергии и на теплопотери в корпус батареи, при τ>0 имеет место следующее уравнение: dT (τ) q раз (τ) = Ск ⋅ к + ав ⋅ Fв (Tв (τ) − T0) , (15) dτ где Ск – общая теплоемкость корпуса химического нагревательного элемента, соприкасающегося с корпусом батареи, Дж/К; ав – коэффициент теплоотдачи от стенок химического нагревательного элемента к поверхности батареи, Вт/(м2·К); Fв – площадь поверхности корпуса химического нагревательного элемента, соприкасающегося с корпусом батареи, м2; Т0 – начальная температура батареи, К. Последним уравнением, описывающим процесс функционирования системы ТАФП – корпус аккумуляторной батареи при τ>0, является балансовое уравнение: q раз (τ) = ав ⋅ Ск ⋅ (Tк (τ) − Tв (τ)) . (16) Система уравнений (11 – 16) представляет собой математическую модель функционирования системы разогрева корпуса аккумуляторной батареи в период разрядки ТАФП. Неизвестными функциями в ней являются qраз(τ), z(τ), Тк(τ), ТВ(τ), Ттам(τ). Поскольку число неизвестных функций равно числу уравнений, то данная система замкнута. Для её решения в рассматриваемом случае сформулируем необходимые начальные и граничные условия: q раз (0) = 0   0 ≤ z (τ) ≤ δ ; z (0) = 0  т (17)  Tк (0) ≈ Tф  TБ (0) = Tв (0) = Tтам (0) = T0 где δ т – толщина корпуса батареи, м; ТБ – температура батареи в момент времени τ, К. Путем алгебраических преобразований уравнений (11 – 17) получаем систему, состоящую из двух дифференциальных уравнений: E − D ⋅ Tк (τ) dz (τ) (18) = , dτ N ⋅ (W + B ⋅ z (τ)) dTк (τ) E − D ⋅ Tк (τ) = − I ⋅ Tк (τ) + M , (19) dτ Z + Y ⋅ z (τ) где B, W, D, E, I, M, N, Z, Y – некоторые константы, рассчитываемые по формулам (20 – 28): B = ав ⋅ а т ⋅ Fв ⋅ Fц, (20) 109 Известия ТулГУ. Технические науки. 2016. Вып. 4 W = (a т ⋅ Fк + ав ⋅ Fв) ⋅ λтв т ⋅ Fк, D = B ⋅ λтв т ⋅ Fк, E = D ⋅ Tф, a ⋅F I= Б Б, CБ M = I ⋅ T0 , (21) (22) (23) (24) (25) (26) N = ρ тв т ⋅ rr ⋅ Fк, Z = W ⋅ CБ, (27) Y = B ⋅ CБ. (28) 2 где aБ – коэффициент температуропроводности батареи, м /с, FБ – площадь поверхности батареи, соприкасающейся с химическим нагревательным элементом, м2; СБ – теплоемкость батареи, Дж/К. Анализируя систему дифференциальных уравнений можно сделать вывод об их нелинейности. Для решения этой системы с начальными и граничными условиями целесообразно воспользоваться численными методами, например, методом Рунге-Кутта четвертого порядка, реализуемым с помощью компьютерной программы Mathcad для Windows. Список литературы 1. Исследование возможности применения переохлажденных жидкостей в качестве теплоаккумулирующих материалов в фазопереходных тепловых аккумуляторах, устанавливаемых на мобильные машины для предпускового разогрева их двигателей зимой: отчет о НИР (итоговый) / Воен. инж.-техн. ун-т; рук. В.В. Шульгин; отв. исполн.: A.Г. Мелентьев. СПб., 2000. 26 с. № 40049-Л. Инв. №561756-ОФ. 2. Булычев В.В., Челноков B.C., Сластилова С.В. Накопители тепла с фазовым переходом на основе Al-Si-сплавов //Известия высших учебных заведений. Черная металлургия. № 7. 1996. С. 64-67. 3. Исследование возможности применения переохлажденных жидкостей в качестве теплоаккумлирующих материалов в фазопереходных тепловых аккумуляторах, устанавливаемых на мобильные машины для предпускового разогрева их двигателей зимой: отчет о НИР (промежуточ. по этапу №3) / Воен. инж.-техн. ун-т; рук. В.В. Шульгин; отв. исполн.: A.Г. Мелентьев. СПб., 2000. 28 с. № 40049-Л. Инв. № 561554-ОФ. 4. Патанкар С. В., Сполдинг Д. Б. Тепло- и массообмен в пограничных слоях / под ред. акад. АН БССР А.В. Лыкова. М.: Энергия, 1971. 127 с. 5. Mathcad 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95/ перевод с англ. М.: Информационно-издательский дом «Филинъ», 1996. 712 с. 110 Военно-специальные науки Лагутина Елизавета Игоревна, адъюнкт кафедры радио, радиорелейной, тропосферной, спутниковой и проводной связи, [email protected], Россия, Рязань, Рязанское высшее воздушно-десантное командное училище MATHEMATICAL MODEL OF FUNCTIONING SYSTEM WARMING UP THE BATTERY WITH USING A CHEMICAL HEATING ELEMENT E.I. Lagutina In the article, the mathematical model of the process of maintaining the battery in optimum thermal condition at low ambient temperatures using a chemical heating element. Key words: temperature control, convective heat transfer, battery, chemical heating element, mathematical model. Lagutina Elizaveta Igorevna, adjunct of the department of radio, radio relay, tropospheric, satellite and wire line communication, [email protected], Russia, Ryazan, Ryazan higher airborne command school УДК 62-8 СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ПРОТОЧНОМ ОБЪЕМЕ А.Б. Никаноров В работе проведен сравнительный анализ с определением области целесообразного применения математических моделей газодинамических процессов в проточных объемах, полученных на основе законов сохранения массы, энергии и количеств движения, полученных для среднеинтегральных параметров среды. Ключевые слова: воздушно-динамический рулевой привод, закон сохранения, математическая модель, силовая система, проточный объем. В работе был рассмотрен подход к построению моделей газодинамических процессов на базе основных законов сохранения для среднеинтегральных по объему и поверхности термодинамических функций и параметров. Получена математическая модель для газодинамических процессов в проточном объеме. В данной статье рассматриваются модели следующего уровня идеализации: 1. Модель квазистатических процессов в проточном объёме для среднеинтегральных термодинамических функций и параметров. Рассмотрим процесс, протекающий в объеме w0 (рис. 1), при этом полагая его квазистатическим, то есть полагая, что скорость движения газа в объеме также, как скорость механического процесса деформации контрольной поверхности пренебрежимо мала по сравнению со скоростями переноса среды через контрольную поверхность объема. 111

Аккумуляторные батареи

В настоящее время один из наиболее часто используемых типов литий-ионных аккумуляторных батарей - это батареи, в которых в качестве активного вещества катода используется LiFePO 4 (литий-железо-фосфат).
В предлагаемой статье авторы обосновывают принципы моделирования режима зарядки литий-железо-фосфатной аккумуляторной батареи (АБ), выполняемого с учетом разброса параметров отдельных аккумуляторов, и формулируют рекомендации относительно режима зарядки АБ.

ЛИТИЙ-ЖЕЛЕЗО-ФОСФАТНАЯ АККУМУЛЯТОРНАЯ БАТАРЕЯ
Моделирование режима зарядки

Алексей Ворошилов, главный инженер ООО «Системы накопления энергии»,
Андрей Петров, руководитель проекта ЛИА
Евгений Чудинов, д.т.н., профессор
ПАО «НЗХК», г. Новосибирск

Применение литий-ионных аккумуляторов (ЛИА) - сравнительно новая технология накопления электроэнергии, которая в последнее время быстро развивается. По своим параметрам (плотность запасаемой энергии, плотность мощности, ресурс при циклировании) данный тип химических источников тока значительно превосходит традиционные свинцово-кислотные и щелочные аккумуляторы. В связи с постоянным улучшением технологии производства ЛИА наблюдается последовательное снижение стоимости данного типа аккумуляторов. Сегодня стоимость запасаемой в них энергии лишь незначительно превышает стоимость энергии, запасаемой в традиционных аккумуляторах. Это обеспечивает экономическую целесообразность их всё более широкого использования в разных областях техники.

Из всех известных типов химических источников тока ЛИА с использованием в качестве материала катода литий-железо-фосфата (LFP) по настоящему безопасны в эксплуатации, а допирование активной массы катода некоторыми металлами существенно улучшает энергетические характеристики таких аккумуляторов. Эти факты обусловили большой интерес к ЛИА LFP со стороны компаний, производящих накопители энергии для электротранспорта и энергетики. Вместе с тем данный тип литий-ионных аккумуляторов по сравнению с другими типами ЛИА имеет ряд особенностей, учет которых необходим для обеспечения требуемого ресурса их эксплуатации.

В статье рассматриваются особенности эксплуатации ЛИА LFP, а также приводятся некоторые результаты математического моделирования процесса зарядки литий-ионной аккумуляторной батареи (ЛИАБ), собранной на их основе, с учетом разброса параметров отдельных аккумуляторов. При этом сам аккумулятор рассматривается как активный двухполюсник, параметры которого (напряжение генератора и внутреннее сопротивление) нелинейно зависят от тока зарядки/разряда, степени заряда и температуры. При моделировании использовался массив экспериментальных данных, полученный на заводе «Лиотех» в 2014-2015 гг. Результаты исследования могут быть использованы для повышения эффективности зарядки ЛИА LFP и обеспечения длительного ресурса их эксплуатации.

РЕЖИМ ЗАРЯДКИ ЛИА LFP

Вольт-амперные характеристики при зарядке

Зависимость напряжения на аккумуляторе при его зарядке или разряде постоянным током имеет специфический характер. На рис. 1 показана типичная зависимость напряжения на ЛИА LFP модели LT-LYP380 производства «Лиотех» от степени заряда при его зарядке при комнатной температуре (20±5 °С).

Рис. 1. Зависимость напряжения на аккумуляторе LT-LYP380AH от степени его заряда при зарядке разными токами (0,2С н; 0,5С н; 1С н)

Для характеристики зарядки ЛИА LFP характерны три области: быстрый рост напряжения на аккумуляторе в начале зарядки, медленное изменение напряжения в середине и быстрый рост в конце. Большинство производителей ЛИА LFP рекомендуют ограничивать напряжение зарядки аккумулятора на уровне 3,7-3,9 В.

Режим зарядки СС/CV

Наиболее часто применяемым режимом зарядки аккумуляторов является режим зарядки постоянным током (constant current) с переходом в режим зарядки постоянным напряжением (constant voltage), так называемый режим CC/CV. На рис. 2 представлен типичный график зарядки свинцово-кислотного аккумулятора. Красной кривой показана зависимость тока, синей - напряжения от времени. Для литий-ионного аккумулятора характер кривых не меняется, за исключением того, что напряжение перехода в режим зарядки постоянным напряжением для ЛИА существенно выше. Это связано с тем, что напряжение разомкнутой цепи (НРЦ) у ЛИА существенно выше, чем у свинцово-кислотных аккумуляторов. Для ЛИА LFP производители рекомендуют выбирать величину напряжения, равную 3,7-3,9 В, для аккумуляторов других типов (NMC, LCО, LTO) эта величина может несколько отличаться.

Рис. 2. Типичная зависимость зарядки CC/CV для свинцово-кислотного аккумулятора

При эксплуатации свинцово-кислотной аккумуляторной батареи в режиме поддерживающего заряда иногда используют режим с двумя уровнями напряжения. При достижении определенной величины степени заряда (State of Charge - SoC ) осуществляется переход в так называемый режим поддерживающего заряда. Например, для обслуживаемых свинцово-кислотных аккумуляторов при комнатной температуре напряжение зарядки равно 2,3-2,4 В, напряжение поддерживающего заряда - 2,23 В.

Величина напряжения поддерживающего заряда у свинцово-кислотных аккумуляторов выбирается исходя из условия минимизации процессом коррозии его электродов и зависит от температуры эксплуатации свинцово-кислотного аккумулятора. У ЛИА этот переход, как правило, выглядит иначе. В этот момент требуется остановить зарядку вообще либо снизить ток зарядки до величины тока балансировки. Причины того, что литий-ионные аккумуляторы, входящие в состав батареи, необходимо балансировать между собой, будет обсуждаться ниже.

Режим зарядки стабилизированным напряжением (CV)

Пусть в момент времени t 1 от начала зарядки аккумулятора током I 0 происходит его переход из режима зарядки постоянным током в режим зарядки постоянным напряжением. При переходе в режим зарядки постоянным напряжением ток с течением времени падает экспоненциально, изменяясь по закону:

(1)

Данная зависимость определяется решением уравнения Коттрелла и Фика для литий-ионных аккумуляторов в режиме потенциостатики. При этом постоянная времени τ определяется химическим коэффициентом диффузии интеркалирующих частиц, толщиной слоя материала электрода и другими параметрами. Пример зарядки током 0,2 С представлен на рис. 3.

Рис. 3. Профиль зарядки аккумулятора в режиме CC/CV

Заряд Q , принимаемый аккумулятором, определяется кулоновским интегралом:

Здесь C н - емкость аккумуляторной батареи.

Для ЛИА LFP приняты следующие параметры зарядки, приведенные к единичному аккумулятору:

• U 0 = 3,4-3,7 В (значению напряжения 3,4 В соответствует переход в режим заряда VC при степени заряда примерно 50%, 3,7 В - 98%. Это значение может уточняться в зависимости от параметров аккумуляторов разных производителей) ;
• I 0 = 0,2C н (данному значению соответствует ток разряда полностью заряженной батареи в течение пяти часов.), А;
• t 1 ≈ 2,5-4,9 ч.

Время зарядки до снижения тока до уровня 0,1I 0 (этот уровень принят для определения момента полной зарядки аккумуляторной батареи) определяется выражением:

При U 0 = 3,4 В, t зар ≈ 8,25 ч, при U 0 = 3,7 В, t зар ≈ 5,20 ч. В координатах ток/степень заряда данная зависимость представлена на рис. 4. В реальном случае, когда батарея (или единичный аккумулятор) подключена к зарядному устройству через кабель конечной проводимости, профиль зарядки становится сложнее, так как по мере зарядки батареи снижается зарядный ток и соответственно снижается падение напряжения на подводящих кабелях. Это приводит к увеличению напряжения, приложенного к батарее, по мере ее зарядки, и профиль зарядки, представленный на рис. 3 и 4, искажается.

Рис. 4. Профиль зарядки аккумулятора в режиме CC/CV в координатах ток/степень заряда

ПАРАМЕТРЫ LFP-АККУМУЛЯТОРА

Эквивалентная схема аккумулятора

На рис. 5а представлена эквивалентная схема активного двухполюсника в общем виде. Здесь E int - ЭДС генератора, Z int - его внутреннее сопротивление (импеданс), которое имеет комплексный характер, то есть зависит от частоты. Вообще говоря, E int и Z int - функции тока, степени заряда, температуры и частоты. Чтобы объяснить характер кривой зарядки ЛИА LFP при приближении степени заряда SoC к 100%, необходимо более подробно рассмотреть его эквивалентную схему.

Рис. 5

а) Схема активного двухполюсника в общем виде

б) Эквивалентная схема аккумулятора как активного двхполюсника

E 0 - напряжение разомкнутой цепи аккумулятора (НРЦ);
E p - поляризационный потенциал;
R 0 - суммарное омическое сопротивление контактов, материала электродов, электролита и т.п.;
C 1 - электрическая емкость двойного слоя электрод-электролит;
R 1 - сопротивление переносу заряда на границе электрод - электролит;
C 2 - электрическая емкость, определяемая градиентом напряженности электрического поля в веществе электролита при протекании через него электрического тока;
R 2 - сопротивление, определяемое конечным значением коэффициента диффузии ионов лития в веществе электролита.

Различные эквивалентные схемы аккумуляторов обсуждаются в ряде работ. Наиболее полный обзор публикаций на эту тему представлен в . На рис. 5б представлена эквивалентная схема, которая, на наш взгляд, наиболее адекватно описывает поведение аккумулятора при его зарядке/разряде, определенное экспериментально.

Напряжение на аккумуляторе определяется напряжением разомкнутой цепи, поляризационным потенциалом и омическими потерями на внутреннем сопротивлении аккумулятора при протекании через него электрического тока. Ниже представлены измеренные зависимости основных параметров аккумулятора от степени его заряда.

Зависимость НРЦ от SoC при зарядке аккумулятора.
Уравнение Олейникова

Нелинейный вид кривой роста напряжения в начале цикла зарядки (рис. 1) обусловлен быстрым изменением концентрации ионов лития в приэлектродной области как в жидкой, так и в твердой фазе. Напряжение разомкнутой цепи E Х определяется разностью электрохимических потенциалов катода и анода в равновесном состоянии. Уравнение, описывающее потенциал интеркалярного электрода, предложено С.А. Олейниковым:

(4)

где E X 0 - электрохимический потенциал интеркалярного электрода (катода или анода);
R - универсальная газовая постоянная;
T - абсолютная температура;
F - число Фарадея;
x - степень интеркаляции;
К - константа, учитывающая содержание ионизированных примесей в материале электрода.

Из представленного выражения следует, что потенциал интеркалярного (литированного) электрода логарифмически зависит от степени интеркаляции (концентрации ионов лития). Это определяет медленное изменение напряжения на аккумуляторе при изменении SoC в средней части графика зарядки. Можно показать, что при изменении концентрации в 10 раз электродный потенциал E Х при комнатной температуре меняется примерно на 59 мВ. Типичное значение E Х для литий-железо-фосфатного аккумулятора, заряженного до 60-80%, при нормальных условиях составляет 3,32-3,34 В.

На рис. 6 представлена экспериментально измеренная зависимость НРЦ аккумулятора от степени его заряда при комнатной температуре. Видно, что зависимость НРЦ от SoC действительно имеет логарифмический характер.

Рис. 6. Зависимость НРЦ от уровня заряда (в долях от Сн) при t = 25±3 °C

Зависимость внутреннего сопротивления от степени заряда аккумулятора

Рассмотрим эквивалентную схему на рис. 5б. Как показали измерения, постоянная времени τ 1 = R 1 · C 1 равна примерно 10-100 мс. Величина R 1 определяет величину внутреннего сопротивления R int , которую производители аккумуляторов приводят в спецификациях на свою продукцию. R int определяется здесь как отношение глубины провала напряжения на аккумуляторе при подаче на аккумулятор ступеньки тока . При этом R int = R 0 + R 1 . Значение R int определяет ток, который способен выдать аккумулятор при внешнем металлическом КЗ на его борнах. Характерное значение R int для аккумулятора емкостью 380 А·ч составляет 0,3-0,4 мОм. Постоянная времени τ 2 = R 2 · C 2 равна примерно 10-20 минутам и определяется временем релаксации аккумулятора при снятии или подаче на него нагрузки. Постоянная времени τ 2 зависит от величины протекавшего тока и слабо зависит от степени зарядки аккумулятора.

Суммарное внутреннее сопротивление также слабо зависит от SoC . На рис. 7 представлена типичная экспериментально полученная зависимость внутреннего сопротивления аккумулятора модели LT-LYP380AH от степени его заряда.

Рис. 7. Зависимость внутреннего сопротивления аккумулятора LT-LYP380AH от степени его заряда

R 0 - внутреннее сопротивление, измеренное при переменном напряжении частотой 1 кГц (при измерении использовался прибор Hioki 3554);
R 1 - внутреннее сопротивление, измеренное методом 17 ГОСТ Р МЭК 896-1-95 (3) сразу после подачи ступеньки тока;
R 2 - внутреннее сопротивление, измеренное методом 17 ГОСТ Р МЭК 896-1-95 (3) через одну минуту после подачи ступеньки тока.

Видно, что при степени заряда менее 80% внутреннее сопротивление аккумулятора слабо зависит от степени его заряда. Рост измеренного значения R 2 при приближении SoC к 100% определяется ростом поляризационного потенциала.

Поляризационный потенциал

В разных источниках поляризационный потенциал определяется по-разному. Исходя из физического смысла, поляризационный потенциал корректно определять как потенциал заряда емкости диэлектрического слоя электрод-электролит, который он имеет при зарядке/разряде малыми токами. Он определяется как отклонение измеренного напряжения на аккумуляторе от напряжения разомкнутой цепи при протекании через него тока, за вычетом падения напряжения на внутреннем сопротивлении. Физический смысл заключается в том, что для того чтобы начался процесс заряда/разряда аккумулятора, конденсатор, образованный переходом электрод-диэлектрик-электролит, должен быть заряжен до определенной величины. Поляризационный потенциал равен суммарному напряжению заряда конденсаторов на двух электродах. Величина поляризационного потенциала для свинцово-кислотного аккумулятора равна примерно 150-180 мВ. Эта величина определяет снижение напряжения на аккумуляторе при переходе его из режима поддерживающего заряда (при напряжении 2,23 В) в режим разряда (до напряжения 2,05-2,08 В).

Экспериментально установлено, что для ЛИА эта величина существенно ниже и равна примерно 3-5 мВ. Изменение поляризационного потенциала определялось как изменение напряжения на АБ при переходе ее из режима зарядки малым током (~0,5 А) в режим разряда также малым током (~1,0 А). Тот факт, что поляризационный потенциал ЛИА намного ниже, чем у свинцово-кислотного аккумулятора, по-видимому, обусловлен тем, что между литий-ионным и свинцово-кислотным аккумулятором есть принципиальное отличие. В случае свинцово-кислотного аккумулятора процесс его зарядки сопровождается протеканием химической реакции на границе электрод-электролит, связанной с преобразованием сульфата свинца в двуокись свинца и серной кислоты на одном электроде и в металлический свинец и серную кислоту - на другом. В процессе разрядки протекает обратная химическая реакция. В случае ЛИА она на границе электрод-электролит не происходит. Процесс заряда/разряда обусловлен свободной интеркаляцией ионов лития из вещества катода в вещество анода и обратно.

Как было указано выше, при приближении SoC к 100% происходит нелинейный рост поляризационного потенциала, обусловленный переходом к другому типу химической реакции, связанной с преобразованием вещества электролита.

Понятие 100% заряженный аккумулятор. Необходимость балансировки

ЛИА при зарядке ведет себя не так, как свинцово-кислотный аккумулятор. Само понятие «аккумулятор заряжен на 100%» у них разное. Стандарт DIN 40729 определяет полный заряд свинцово-кислотного аккумулятора как заряд с преобразованием всего активного вещества. Таким образом, свинцово-кислотный аккумулятор, заряженный на 100%, - это аккумулятор, у которого весь сульфат свинца преобразовался в металлический свинец (на отрицательном электроде) или в двуокись свинца (на положительном электроде), то есть этому понятию соответствует вполне конкретное и однозначно определяемое состояние электрохимической системы. Свинцово-кислотный аккумулятор в принципе не может быть заряжен выше 100%. Напряжение подзаряда, которое для классических обслуживаемых свинцово-кислотных аккумуляторов равно 2,23 В при комнатной температуре, примерно соответствует сумме напряжения разомкнутой цепи полностью заряженного аккумулятора и его поляризационного потенциала.

Для ЛИА «степень заряда 100%» - величина относительная. Это понятие не определяет однозначно состояние электрохимической системы. Условно за 100% заряда большинство производителей ЛИА LFP принимают заряд, который аккумулятор получил при зарядке его постоянным током 0,2 С до достижения напряжения 3,7 В, с последующим переходом в режим зарядки при постоянном напряжении до снижения зарядного тока до величины 0,02 С . Если не остановить зарядку в этой точке, аккумулятор может заряжаться дальше. При этом еще до достижения точки 100% аккумулятор приближается к порогу, при котором почти все ионы лития из катода деинтеркалированы, их количество становится недостаточным для того, чтобы поддерживать химическую реакцию на прежнем уровне. В этом случае параллельно запускается другая химическая реакция, связанная с преобразованием вещества электролита (в котором также содержатся ионы лития), что приводит к деградации аккумулятора. Этот фазовый переход сопровождается нелинейным ростом поляризационного потенциала. Поэтому, с одной стороны, при зарядке ограничивают напряжение зарядки у ЛИА, с другой стороны, в определенный момент времени останавливают его дальнейшую зарядку, иначе возможен так называемый перезаряд, то есть зарядка его до степени заряда выше 100%.

Длительный перезаряд ЛИА приводит к снижению его емкости, росту внутреннего сопротивления и НРЦ. Косвенным признаком того, что ЛИА длительно находился в перезаряженном состоянии, является образование металлического лития в материале катода и соответственно увеличение НРЦ. НРЦ нормального LFP-аккумулятора, заряженного до 60-80%, составляет 3,32-3,34 В. НРЦ LFP-аккумулятора, в катодном материале которого содержится металлический литий, может составлять 3,4-3,45 В.

Необходимость периодической балансировки ЛИА в батарее как раз является следствием описанного выше. Если предварительно полностью выровнять степень заряда ЛИА в батарее, с течением времени будет происходить их разбалансировка, обусловленная различием их параметров (емкость, величина саморазряда, внутреннее сопротивление), даже если батарея эксплуатируется в режиме поддерживающего заряда. Дополнительная сложность балансировки LFP-аккумуляторов в батарее заключается в том, что для них характерна слабая зависимость напряжения на них от степени их заряда.

Математическая модель процесса зарядки ЛИАБ

Большинство производителей ЛИА рекомендуют заряжать эти аккумуляторы методом CC/CV с переходом в режим зарядки при постоянном напряжении, равном 3,7-3,9 В. Этот режим допустимо использовать для зарядки единичного аккумулятора, но нельзя использовать для АБ, состоящей из последовательно соединенных аккумуляторов, имеющих разброс параметров. При приближении к степени заряда 100% происходит нелинейный рост напряжения на аккумуляторе, имеющем наименьшую емкость (наибольшую степень заряда), который невозможно компенсировать током балансировки. При этом процесс зарядки приходится останавливать еще до того, как все батарея будет заряжена до 100%.

Для того чтобы количественно оценить влияние разброса параметров аккумуляторов в батарее, была разработана математическая модель ее зарядки, которая позволила провести анализ на основании сравнительно простых расчетов. При этом точность результатов достаточна для того, чтобы определить допустимый разброс параметров аккумуляторов в батарее и выдать рекомендации по режиму ее зарядки. Влиянием температуры на процесс зарядки в данном случае мы пренебрегаем: считается, что зарядка происходит при комнатной температуре.

Для целей анализа достаточно использовать упрощенную эквивалентную схему (рис. 8). Эта схема корректна, если рассматриваются относительно медленные процессы, проходящие в аккумуляторе, постоянные времени которых составляют несколько десятков минут и более, что справедливо для типичного процесса зарядки аккумулятора в течение нескольких часов.

Рис. 8. Упрощенная эквивалентная схема аккумулятора

При этом можно пренебречь влиянием электрической емкости С 1 переходов электрод - электролит и электрической емкости С 2 , определяемой градиентом напряженности электрического поля в веществе электролита при протекании через него электрического тока. Таким образом, можно учесть только активную часть внутреннего сопротивления R int , величина которой принимается постоянной в процессе зарядки, так как, что было показано выше, внутреннее сопротивление слабо зависит от степени заряда. При этом необходимо правильно учесть влияние поляризационного потенциала.

Математическая модель единичного аккумулятора

На основании модели на рис. 8 можно проанализировать влияние разброса параметров аккумуляторов на разброс напряжения на них в процессе зарядки и на величину конечной степени заряда, до которой может быть заряжена АБ. На рис. 9 представлен усредненный и сглаженный профиль зарядки аккумулятора модели LT-LYP380 постоянным током, равным 0,2 С , до достижения напряжения на аккумуляторе 3,7 В с переходом в режим зарядки при постоянном напряжении 3,7 В до снижения тока до величины 0,02 С . Для аккумулятора емкостью 380 А·ч ток 0,2 С будет равен 76 А. При зарядке другими токами профиль зарядки качественно будет иметь такой же характер, но величина падения напряжения будет отличаться на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении аккумулятора.

Рис. 9. Сглаженный профиль зарядки аккумулятора током 0,2 С с переходом в зарядку стабилизированным напряжением 3,7 В

При любом токе напряжение на аккумуляторе определяется следующим выражением:

Рассмотрим функции δU out = f(δC , δR int , δQ 0). Здесь δU out - отклонение напряжения на аккумуляторе как функция некоторой переменной. δC , δR int , δQ 0 - соответственно отклонение номинальной емкости, внутреннего сопротивления и начального заряда аккумулятора от некоторой равновесной величины. Определяя значение конкретных функций, можно определить влияние разброса конкретных параметров на разброс напряжения и на процесс зарядки аккумулятора.

Влияние разброса значений внутреннего сопротивления

Рассмотрим батарею из аккумуляторов с одинаковой емкостью 380 А·ч и разным внутренним сопротивлением R int = = R 0int + δR int . Пусть R int1 = 1,0 мОм, R int2 = 1,2 мОм (20%). Как показали измерения, внутреннее сопротивление аккумулятора сравнительно слабо зависит от степени его заряда. Поэтому из (5) можно получить следующее выражение:

Пусть ток зарядки равен 76 А (0,2 С н). Очевидно, что разница в напряжениях двух аккумуляторов будет равна δU out = δR int · I(SoC) = = 16 мВ в течение всего цикла зарядки и спадает к нулю к концу зарядки аккумулятора. При этом разброс сопротивлений не снижает максимально допустимый заряд батареи (рис. 10).

Рис. 10. Зависимость напряжения на аккумуляторах от разброса сопротивлений

Влияние разброса емкости

Рассмотрим отклонение напряжения на аккумуляторах батареи в процессе ее зарядки как функцию отклонения их емкостей от равновесной величины δU out = f (δC ):

Согласно определению, C = Q max - максимальный заряд, до которого может быть заряжен аккумулятор. С другой стороны, SoC = Q / Q max . Поскольку аккумуляторы в батарее соединены последовательно, при зарядке они получают один и тот же заряд Q . Таким образом, δC ≈ -δSoC при приближении SoC к 100%.

Формулу (7) можно переписать в следующем виде:

Для анализа зависимости разброса напряжения от разброса емкости допустимо анализировать разброс напряжения от степени его заряда. Рассмотрим функцию заряда «при нулевом токе зарядки»:

Здесь U (SoC ) - функция заряда аккумулятора током 0,2 С (график которой представлен на рис. 9. Функция U 0 (SoC ) формально определяет падение напряжения на аккумуляторе при «зарядке» его нулевым током до степени заряда 100%. При этом предполагается, что значение U 0 сверху не ограничено. Анализ поведения функции U 0 и позволит определить разброс напряжения аккумуляторов с разной степенью заряда в батарее. Поскольку в линейной части графика зарядки поляризационный потенциал практически не зависит от SоC , то его влияние в линейной части графика учитывается как добавочная величина внутреннего сопротивления. В нелинейной части именно поляризационный потенциал определяет поведение функции U 0 (SoC ).

Для простоты анализа рассмотрим АБ, состоящую из трех аккумуляторов. Пусть емкость первого аккумулятора равна C 0 , второго - C 0 - δC , третьего - C 0 + δC . Таким образом, в процессе зарядки степень заряда второго аккумулятора будет все время больше, чем у первого аккумулятора на величину δSoC ≈ δC , третьего - меньше на ту же величину δC . Для определенности рассмотрим профиль зарядки, представленный на рис. 9. Заряд начинается из состояния SoC = 0% постоянным током 0,2 С до достижения среднего напряжения на аккумуляторах U av = 3,7 В (суммарно 11,1 В на батарею). После этого происходит переход в режим зарядки при среднем напряжении на аккумуляторе 3,7 В со снижением тока до 0,02 С .

Для анализа используем функцию зарядки U 0 (SoC ). Среднее значение напряжения на аккумуляторах определено зарядным устройством и равно U av . Отклонение напряжения на аккумуляторе δU i от среднего значения определяется разбросом степени заряда δSoC i . Это проиллюстрировано на рис. 11.

Рис. 11. Пример, поясняющий принцип определения разброса напряжений на аккумуляторах

Для каждого значения SoC 0 справедливы выражения:

При этом нужно учесть физические ограничения, связанные с тем, что напряжение на отдельном аккумуляторе не может быть ниже U min:

так как невыполнение этого условия означало бы изменение знака поляризационного потенциала и прекращение процесса зарядки аккумулятора.

На рис. 12 представлен график зарядки батареи током 0,2 С до достижения среднего напряжения на аккумуляторе 3,7 В с переходом в режим зарядки при этом напряжении. Разброс емкости равен ±2,5%. При достижении степени заряда 94% напряжение на аккумуляторе 2 становится выше 3,7 В и в этот момент зарядка должна быть остановлена. Излом кривых 1 и 3 объясняется тем, что кривая напряжения аккумулятора 2 растет очень быстро (как гиперболическая функция). При расчете батареи, состоящей из большего числа элементов, этот излом сглаживается. Таким образом, видно, что при среднем значении напряжения на аккумуляторе, равном 3,7 В, максимальная степень заряда, до которой может быть заряжена батарея, составляет 94%.

Рис. 12. График зависимости разброса напряжения на аккумуляторах от разброса SoC при зарядке до среднего напряжения 3,7 В

Батарею из многих аккумуляторов, имеющих разброс параметров, практически невозможно заряжать до среднего напряжения на аккумуляторе 3,7 В. Ситуацию могут улучшить специальные методы зарядки, основанные на организации обратной связи между системой управления батареей и зарядным устройством и предполагающие снижение тока зарядки батареи до величины тока балансировки, хотя это существенно увеличивает время зарядки. Можно также попытаться уменьшать среднюю величину напряжения зарядки отдельного аккумулятора в батарее.

Степень заряда, достигаемая при различных уровнях напряжения стабилизации

Величина напряжения перехода из режима CC в режим CV влияет на величину степени зарядки, до которой заряжается аккумулятор при снижении тока его зарядки до 0,02 С .

На рис. 13а представлена зависимость напряжения от времени зарядки при различном значении напряжения перехода в режим CV. На рис. 13б - зависимость тока от времени зарядки. На графиках напряжение перехода в режим CV равно: 1 - 3,7 В; 2 - 3,6 В; 3 - 3,5 В; 4 - 3,4 В.

Рис. 13. Зависимость от времени при различном значении напряжения перехода в режим CV:
а) напряжения на аккумуляторе;
б) тока зарядки аккумулятора

На рис. 14а представлена зависимость времени зарядки аккумулятора до снижения тока его зарядки до 0,02 С от величины напряжения перехода в режим CV. На рис. 14б - зависимость достижимой степень заряда от напряжения зарядки. Видно, что при изменении величины напряжения перехода в режим CV от 3,7 до 3,45 В время зарядки аккумулятора и степень, до которой он заряжается, почти не изменяются. Значит батарею, так же как и отдельный аккумулятор, можно заряжать до меньшего напряжения, например до 3,4-3,45 В, с последующим переходом в режим заряда стабилизированным напряжением. Недостаток данного метода: время заряда единичного аккумулятора несколько увеличивается.

Рис. 14. Зависимость:
а) времени заряда до снижения тока до 0,02 С от величины напряжения перехода в режим CV;
б) достижимой степени заряда от напряжения зарядки

На рис. 15а представлен график зарядки батареи током 0,2 С до достижения среднего напряжения на аккумуляторе 3,4 В с переходом в режим зарядки при этом напряжении. Разброс емкости равен ±2,5%. Заряд остановлен при снижении тока до 0,02 С, при этом степень заряда АБ составила 96%. На рис. 15б представлен тот же график во временном масштабе.

Рис. 15. График зависимости разброса значений напряжения на аккумуляторах 1 (δC = 0 %), 2 (δС = +2,5 %) и 3 (δС = -2,5 %)

Таким образом, при зарядке АБ, состоящей из последовательно соединенных ЛИА LFP, полезно снизить среднее напряжение зарядки до 3,4-3,45 В. Точное значение среднего напряжения зарядки нужно определять для конкретного типа аккумулятора.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрена модель ЛИА LFP как активного двухполюсника, параметры которого (напряжение генератора и внутреннее сопротивление) нелинейно зависят от тока зарядки/разряда, степени заряда и температуры. Для определения параметров модели использовались экспериментальные данные.

Рассмотрена эквивалентная схема, наиболее адекватно описывающая поведение аккумулятора при зарядке и зависимость его основных параметров от степени заряда, приведены экспериментально полученные данные. На простой модели проанализировано поведение ЛИАБ при ее зарядке и влияние на этот процесс разброса параметров отдельных аккумуляторов.

На основании расчетов получены рекомендации по параметрам напряжения зарядки LFP-аккумулятора. Показано, что величина среднего напряжения, приложенного к аккумулятору при зарядке батареи, должна быть снижена до 3,4-3,45 В. Конкретная величина должна определяться исходя из зависимости НРЦ от степени заряда для конкретного типа аккумуляторов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Chen M., Rincon-Mora G.A. Accurate electrical battery model capable of predicting runtime and I-V performance // IEEE Transactions on Energy Conversion, v. 21, no. 2. June 2006.
2. Albér G. Ohmic measurements: The history and the facts. [http://www.alber.com/Docs/Brochure_WhitePaperG_Alber.pdf ]
3. ГОСТ Р МЭК 896-1-95. Свинцово-кислотные стационарные батареи. Общие требования и методы испытания. Часть 1. Открытые типы.
4. DIN 40729. Akkumulatoren; Galvanische Sekundrelemente; Grundbegriffe.
5. Кедринский И.А., Дмитренко В.Е., Грудянов И.И. Литиевые источники тока. М.: Энергоиздат, 1992. 240 с.